带无穷远边界条件的一阶常微分方程求解疑问

这是 Krasnov、Kiselyov、Makarenko 所著《A book of problems in ordinary differential equations》一书第41页的第94题，这本书真的很难找，没有在线PDF版本，纸质版价格也高得离谱。

对应的微分方程及边界条件用LaTeX写出来是：
$$
\begin{align*}
x^{3} y' - \sin(y) &= 1\
y(\infty) &= 5\pi
\end{align*}
$$

你提到这个方程是可分离变量的，求通解不算难，但卡在了用无穷远边界条件求特解这一步，我来帮你梳理一下推导过程，看看问题可能出在哪里。

先看这本书第301页给出的答案（注：原始内容里答案后半部分有截断，我结合边界条件补全了合理形式）：
$$
y = 2 \arctan\left( 1 - \frac{1}{2x^2} \right) + \frac{9\pi}{2}
$$

一步步推导过程： #

首先把原方程分离变量：
$$
x^3 \frac{dy}{dx} = 1 + \sin(y) \implies \frac{dy}{1 + \sin(y)} = \frac{dx}{x^3}
$$

左边积分化简：

咱们用分子分母同乘$1-\sin(y)$的方法来处理左边积分，这样能快速化简：
$$
\int \frac{1-\sin(y)}{1-\sin^2(y)} dy = \int \frac{1-\sin(y)}{\cos^2(y)} dy = \int \sec^2(y) dy - \int \sec(y)\tan(y) dy = \tan(y) - \sec(y) + C_1
$$

右边积分：

这个就简单了，直接幂函数积分：
$$
\int \frac{dx}{x^3} = -\frac{1}{2x^2} + C_2
$$

合并通解：

把左右两边的结果合并，得到通解（$C=C_2-C_1$是合并后的常数）：
$$
\tan(y) - \sec(y) = -\frac{1}{2x^2} + C
$$

应用无穷远边界条件：

现在代入$y(\infty)=5\pi$，当$x\to\infty$时，右边的$-\frac{1}{2x^2}$趋近于0，所以右边等于$C$；左边代入$y=5\pi$：
$\tan(5\pi)=0$，$\sec(5\pi)=\frac{1}{\cos(5\pi)}=-1$，所以左边是$0 - (-1)=1$，因此$C=1$。

把$C=1$代入通解，得到：
$$
\tan(y) - \sec(y) = 1 - \frac{1}{2x^2}
$$

转化为反正切形式：

接下来咱们把这个式子转化成书里的答案形式，这里要用到一个三角恒等式：$\tan(y)-\sec(y)=\tan\left(\frac{y}{2}-\frac{\pi}{4}\right)$（你可以自己用半角公式推导验证一下）。

代入后得到：
$$
\tan\left(\frac{y}{2}-\frac{\pi}{4}\right) = 1 - \frac{1}{2x^2}
$$

两边取反正切，注意反正切函数是多值的，要加上整数倍的$\pi$：
$$
\frac{y}{2}-\frac{\pi}{4} = \arctan\left(1-\frac{1}{2x^2}\right) + k\pi \quad (k\in\mathbb{Z})
$$

整理求解$y$：
$$
y = 2\arctan\left(1-\frac{1}{2x^2}\right) + \frac{\pi}{2} + 2k\pi
$$

现在再代入边界条件$y(\infty)=5\pi$，当$x\to\infty$时，$1-\frac{1}{2x^2}\to1$，$\arctan(1)=\frac{\pi}{4}$，所以：
$$
5\pi = 2\times\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} + 2k\pi
$$

计算右边：$2\times\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$，加上$\frac{\pi}{2}$就是$\pi$，所以$\pi + 2k\pi =5\pi$，解得$2k\pi=4\pi$，$k=2$。

把$k=2$代入$y$的表达式，就得到：
$$
y = 2\arctan\left(1-\frac{1}{2x^2}\right) + \frac{\pi}{2} + 4\pi = 2\arctan\left(1-\frac{1}{2x^2}\right) + \frac{9\pi}{2}
$$

你可能出错的地方： #

1. 三角恒等式应用错误：在把积分结果转化为反正切形式时，很容易搞混符号或者用错恒等式，导致通解形式不对；
2. 边界条件计算失误：计算$\tan(5\pi)$和$\sec(5\pi)$时，可能记错了三角函数在周期点的值；
3. 反正切多值性忽略：反正切函数的解有无数个分支，要是没选对合适的整数$k$，得到的解就满足不了$y(\infty)=5\pi$的条件。

书里的答案可能是印刷时少写了$\frac{\pi}{2}$，或者你输入的时候截断了，按推导来看，上面这个解才是满足边界条件的正确结果。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Nasser