拓扑学中粘合概念的形式化及圆柱两种构造等价性的技术问询

我正尝试把拓扑学里“粘合”这个直观概念完全形式化。为了让问题更清晰，先拿用正方形构造圆柱的经典例子来铺垫一下。

用商空间构造圆柱 #

考虑矩形$[0,1]^2$，我们把左右两条边粘合的操作，严谨形式化的方式是对这个集合取由关系$(0,t) \sim (1,t),\forall t \in [0,1]$生成的最小等价关系（注：原描述里的关系疑似笔误，若按$(0,t) \sim (0,1)$定义会将左边整条边收缩为一个点，无法得到圆柱，因此修正为左右同高度点的对应粘合），最终得到的商空间$[0,1]^2/\sim$就是圆柱。

用子空间拓扑构造圆柱 #

另一种构造方式是直接考虑集合$S^1 \times [0,1]$，给它赋予从$\mathbb{R}^3$继承来的子空间拓扑，这也是圆柱的标准拓扑空间定义。

讨论 #

从直观层面很容易理解，不管用上述哪种方式构造，得到的圆柱本质上是同一个拓扑空间。但我现在的核心目标是把“粘合”这个模糊的直观想法彻底形式化：

• 如何用严谨的拓扑学语言精准定义“粘合”操作？
• 这两种圆柱构造方式的拓扑等价性要怎么严格证明？
• 这种形式化的粘合框架能不能推广到更复杂的拓扑空间构造场景中？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Clemens Bartholdy