基于非标准分析证明单调函数满足介值性时的连续性（介值定理逆命题）

嘿，我刚好之前琢磨过这个问题——毕竟Goldblatt的《Lectures on the Hyperreals》就是主打非标准分析的视角，用这套工具来证这个逆命题确实挺顺手的！我们一步步来拆解：

首先回忆非标准分析里函数连续性的等价刻画：对于任意$c \in [a,b]$，如果超实数$x$是$c$的无限接近点（即$x \approx c$，且$x \in {}^{*[a,b]$），那么$f$的非标准扩张作用在$x$上的结果${}}*f(x)$必须无限接近$f(c)$（即${}^*f(x) \approx f(c)$）。我们的目标就是证明这个条件对所有$c \in [a,b]$都成立。

我们用反证法来推进：假设存在某个$c \in [a,b]$，存在超实数$x \approx c$，但${}^*f(x) \not\approx f(c)$。因为$f$是单调的，不妨先假设$f$是单调递增的（单调递减的情况完全对称，只需把不等号反向即可）。

由于${}^*f(x) \not\approx f(c)$，必然存在某个正实数$\varepsilon$，使得要么${}^*f(x) > f(c) + \varepsilon$，要么${}^*f(x) < f(c) - \varepsilon$，我们分两种情况讨论：

情况1：${}^*f(x) > f(c) + \varepsilon$ #

考虑实数$r = f(c) + \frac{\varepsilon}{2}$，显然$r$介于$f(c)$和${}^*f(x)$之间。根据题设的介值性，存在实数$d \in [a,b]$使得$f(d) = r$。因为$f$单调递增，$f(d) = r > f(c)$，所以$d > c$。

现在注意：$x$是$c$的无限接近点（$x \approx c$），而$d$是一个普通实数且$d > c$，所以必有$x < d$（毕竟$x$和$c$的距离是无穷小，远小于$d$和$c$的正实数距离）。又因为单调函数的非标准扩张也是单调的，所以${}^*f(x) \leq {}^{*f(d)$。但${}}*f(d) = f(d) = r = f(c) + \frac{\varepsilon}{2}$，这就和我们的假设${}^*f(x) > f(c) + \varepsilon$矛盾了！

情况2：${}^*f(x) < f(c) - \varepsilon$ #

类似地，取实数$r = f(c) - \frac{\varepsilon}{2}$，这个$r$介于${}^*f(x)$和$f(c)$之间。根据介值性，存在实数$d \in [a,b]$使得$f(d) = r$。因为$f$单调递增，$f(d) = r < f(c)$，所以$d < c$。

同样，$x \approx c$且$d < c$（实数），所以$x > d$。再利用非标准扩张的单调性，${}^*f(x) \geq {}^*f(d) = f(d) = r = f(c) - \frac{\varepsilon}{2}$，这和假设${}^*f(x) < f(c) - \varepsilon$矛盾！

对于端点$c=a$或$c=b$的情况，只需限制$x$的方向（比如$c=a$时$x$只能是$a$右侧的无限接近点），上述推导依然成立，不会出现矛盾。

既然两种情况都导出了矛盾，说明我们最初的假设不成立——也就是说，对所有$c \in [a,b]$和所有$x \approx c$，都有${}^*f(x) \approx f(c)$，即$f$在$[a,b]$上连续。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者J. Chapman