探究函数序列$f_n(x)=\frac{nx}{1+n^3x^3}$在$[0,\infty)$上的一致收敛性

咱们先从逐点收敛情况入手：

• 当$x=0$时，$f_n(0)=0$，显然极限为0；
• 当$x\in(0,\infty)$时，$\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{nx}{1+n^3x3}$，分子是关于$n$的一次项，分母是三次项，随着$n$趋向无穷大，整个分式的极限也是0。所以这个函数序列逐点收敛到0。

接下来要判断它是否一致收敛，根据一致收敛的核心判定方法：我们需要看序列的上确界$M_n=\sup_{x\in[0,\infty)}|f_n(x)-0|$，当$n\to\infty$时是否趋近于0。

那怎么求这个上确界呢？因为$x\geq0$时$f_n(x)$是非负的，所以$M_n$其实就是$f_n(x)$在$[0,\infty)$上的最大值。我们通过求导来找极值点：

对$f_n(x)$求导：
$$f_n'(x)=\frac{n(1+n^3x3)-nx\cdot3n^3x2}{(1+n^3x3)^2}=\frac{n - 2n^4x3}{(1+n^3x3)^2}$$

令导数等于0，解方程$n - 2n^4x3=0$，可得$x^{3=\frac{1}{2n}3}$，也就是$x=\frac{1}{n\cdot\sqrt[3]{2}}$，这就是$f_n(x)$的极大值点（也是最大值点，因为当$x\to\infty$时$f_n(x)\to0$，$x=0$时$f_n(x)=0$）。

把这个最大值点代入$f_n(x)$计算：
$$f_n\left(\frac{1}{n\cdot\sqrt[3]{2}}\right)=\frac{n\cdot\frac{1}{n\cdot\sqrt[3]{2}}}{1+n^{3\cdot\left(\frac{1}{n\cdot\sqrt[3]{2}}\right)}3}=\frac{\frac{1}{\sqrt[3]{2}}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{2}{3\sqrt[3]{2}}=\frac{\sqrt[3]{4}}{3}$$

你会发现这个最大值是个和$n$无关的常数！也就是说$M_n=\frac{\sqrt[3]{4}}{3}$，当$n\to\infty$时，这个值并不会趋向于0。

所以最终结论是：函数序列$f_n(x)=\frac{nx}{1+n^3x3}$在$[0,\infty)$上不一致收敛到0。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者nozalp10