如何直观理解相对同伦所依赖的集合，以及集合变化时同伦的变化规律？

我在用的笔记里，同伦是相对于某个集合来定义的，先给你把这个定义摆出来：

两个函数 $f,g:(X, \tau_x) \to (Y,\tau_y)$ 被称为相对于集合 $\color{red}{A} \subset X$ 同伦，当且仅当存在一个连续函数 $H:X \times [0,1] \to Y$，满足以下四个条件：

• $H$ 是连续的
• $H(x,0)=f(x)$
• $H(x,1) = g(x)$
• $\color{red}{H(a,\lambda) = f(a) = g(a)}$ 对所有 $a \in A$、$\lambda \in [0,1]$ 成立

那我该怎么理解当集合$A$变化时，同伦关系会发生怎样的改变呢？

我目前的发现 #

咱们先从极端情况入手：如果让$A=X$，那每个函数只能和自身同伦——毕竟所有点都被死死固定住了，根本没法做任何形变。再举个最简单的函数例子（原内容未完成）：...

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Clemens Bartholdy