构造从可微函数到光滑闭合二维环路的泛函的技术咨询

我现在碰到一个泛函构造的问题，想请教各位大佬：

我需要定义一个泛函$f$，它能把定义域和值域都在$[0,1]$上的可微函数$g:[0,1]\to[0,1]$，映射成一个从$[0,1]$到$[0,1]^2$的光滑函数$h: [0,1]\to[0,1]^2$，并且要满足$h(0)=h(1)=g(0)$，让$h$形成一个闭合环路。

核心的要求是：这个泛函$f$要“扭曲”$g$来生成闭合环路，同时得保留$g$的结构——我目前还没法严格定义这个“结构”，但直观上它得保留$g$的局部极小值和极大值。举两个例子：

• 如果$g$是常数函数，那么$f(g)$应该是一个圆；
• 如果$g$是余弦类的函数，那么$f(g)$应该变成一个带起伏的“波浪形闭合环路”（类似 squiggly circle）。

如果这个问题因为约束条件不足而定义模糊的话，麻烦大家帮忙补充合理的假设并明确说明~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者noob