非阿贝尔群分裂引理（半直积）相关疑问

嘿，我来帮你把这个问题理清楚！首先咱们先明确讨论的短正合序列：
$$ 0\to A \to B \to C \to 0 $$

当这个序列右分裂时，$B$确实同构于半直积 $A\rtimes C$，而不是 $C\rtimes A$，原因其实和短正合序列里各群的角色直接相关：

• 首先，右分裂的定义是存在一个同态 $s: C \to B$，使得满同态 $B\to C$ 和 $s$ 复合后是 $C$ 上的恒等映射（简单说就是$s$给$C$里每个元素找了个在$B$里的“代表”）。
• 在这个短正合序列里，单同态 $A\to B$ 的像其实是满同态 $B\to C$ 的核，而群同态的核一定是正规子群——这一点对非阿贝尔群也成立！所以$A$在$B$里对应的子群是正规的。
• 再看$s(C)$，它是$B$的一个子群，而且和$A$的交集只有单位元（因为如果有元素同时在$A$和$s(C)$里，那它在满同态$B\to C$下的像既是$0$（因为在核里）又是某个$c\in C$（因为在$s(C)$里），只能是$c=0$，对应$s(c)$是单位元）。
• 同时，$B$里的每个元素都可以写成 $a \cdot s(c)$ 的形式（$a\in A$，$c\in C$）：任取$b\in B$，设$c$是$b$在$C$里的像，那么$b \cdot s(c)^{-1}$在满同态下的像是$c \cdot c^{-1}=0$，所以它属于$A$，也就是存在$a\in A$使得$b = a \cdot s(c)$。

而半直积$N\rtimes H$的定义恰好是：群$G$有一个正规子群$N$和子群$H$，满足$N\cap H={e}$且$G=NH$。这里$N$就是$A$（正规子群），$H$就是和$C$同构的$s(C)$，所以$B$自然同构于$A\rtimes C$。

至于为什么不是$C\rtimes A$？因为$C$对应的子群$s(C)$在$B$里不是正规子群（除非这个序列同时也是左分裂的，那时候就是直积了，但非阿贝尔群里左分裂和右分裂并不等价），不符合半直积里正规子群在前的要求。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者stoneaa