广义逆高斯分布下ln(x)的期望求解问询

我现在正在计算$E(\ln(x))$的期望值，其中$x$服从参数为w、$\eta$和$\lambda$的广义逆高斯分布。

广义逆高斯分布的概率密度函数（PDF）为：
$$f(x; w, \eta, \lambda) = \frac{\eta^{-\lambda}}{2 K_v(w)}x^{\lambda-1} \exp\left(-\frac{1}{2}w(\eta x^{-1}+\eta{-1}x)\right),$$
这里的$K_v$指的是第二类修正贝塞尔函数。

在**B. Jrgensen, Statistical Properties of the Generalized Inverse Gaussian Distribution. New York, NY, USA: Springer-Verlag, 1982.**这本著作中，作者给出了$E(\ln(x))$的解：
$$E(\ln(x))=\ln(\eta)+\frac{\partial \ln K_{\lambda}(w)}{\partial \lambda}$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者chengwai