关于求证a|1当且仅当a=±1的完整证明问询

嘿，我来帮你把这个证明补全，把整个逻辑理得明明白白的～

首先先明确整除的定义：如果整数 $a$ 整除1（记作 $a|1$），等价于存在整数 $c$，使得 $1 = c \cdot a$。我们从这个定义出发，分「必要性」和「充分性」两个方向来证明：

一、必要性：若 $a|1$，则 $a=\pm1$ #

我们分正整数和负整数两种情况讨论：

1. 当 $a$ 是正自然数时：
   因为 $1 = c \cdot a$，且 $a$ 是正自然数，所以 $c$ 必须也是正自然数（正数乘正数才会等于正数1）。
   自然数有个基本性质：两个自然数的乘积等于1，那么这两个数只能都是1——毕竟任何大于1的自然数乘另一个自然数，结果都会大于1，不可能等于1。所以 $a=1$，$c=1$。
2. 当 $a$ 是负整数时：
   同样根据 $1 = c \cdot a$，等式右边要得到正数1，$c$ 必须也是负整数（负数乘负数得正数）。我们设 $a=-k$，$c=-m$，其中 $k,m$ 是正自然数，代入等式得：
   $$1 = (-m) \cdot (-k) = m \cdot k$$
   和正自然数的情况一样，$m$ 和 $k$ 只能都是1，所以 $a=-k=-1$，$c=-m=-1$。

综合两种情况，能满足 $a|1$ 的整数 $a$ 只能是 $1$ 或者 $-1$。

二、充分性：若 $a=\pm1$，则 $a|1$ #

这个方向就很直观了：

• 当 $a=1$ 时，取整数 $c=1$，显然有 $1 = 1 \cdot 1$，满足整除的定义，所以 $1|1$；
• 当 $a=-1$ 时，取整数 $c=-1$，则 $1 = (-1) \cdot (-1)$，同样满足整除的定义，所以 $-1|1$。

这样就完成了双向的证明，也就是 $a|1$ 当且仅当 $a=\pm1$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者math forever