关于伽利略变换群中尺度变换是否仍保持惯性系的疑问

提问内容 #

我正在读Florian Scheck写的《Mechanics》（力学）这本书，目前重点看伽利略变换相关的内容。作者在第1.13节（如果有人有这本书的话）提到，将惯性系映射到惯性系的更一般变换$g$具有如下形式：

$$\mathbf{r}\mapsto\mathbf{r}'=\mathbf{Rr}+\mathbf{w}t+\mathbf{a},\ \mathbf{R}\in O\left(3\right) ,\ \ \det{\mathbf{R}}=\pm 1 $$
$$t\mapsto t^\prime=\lambda t+s,\ \ \lambda=\pm1$$

我的疑问是——如果我除了旋转坐标轴之外，还对坐标轴进行缩放，得到的参考系难道不仍然是惯性系吗？

提前感谢各位解答！

解答 #

嗨，这个问题问得很到位！咱们得从惯性系的核心定义出发来分析：惯性系是指牛顿第一定律成立的参考系——也就是不受外力的物体会保持匀速直线运动（或静止）状态的参考系。

现在来看尺度变换的影响：假设你对空间坐标轴做一个缩放，比如让$\mathbf{r}' = k\mathbf{r}$（$k≠1$，是一个常数缩放因子），同时如果时间也跟着缩放的话$t' = mt$，或者只缩放空间。咱们拿只缩放空间的情况举例：

在原惯性系$\mathcal{S}$中，一个不受力的物体运动方程是$\mathbf{r}(t) = \mathbf{v}_0 t + \mathbf{r}_0$（标准的匀速直线运动）。经过空间缩放后，新参考系$\mathcal{S}'$中的位置$\mathbf{r}'(t) = k\mathbf{r}(t) = k\mathbf{v}_0 t + k\mathbf{r}_0$，看起来还是匀速直线运动？别急，这里得考虑牛顿第二定律的形式不变性——因为惯性系不仅要求第一定律成立，还要保证整个牛顿力学的规律形式一致，这才是关键。

原惯性系中，牛顿第二定律的形式是$\mathbf{F} = m\ddot{\mathbf{r}}$。如果只缩放空间，$\mathbf{r}'=k\mathbf{r}$，那么二阶导数$\ddot{\mathbf{r}}' = k\ddot{\mathbf{r}}$，代入第二定律后就会得到$\mathbf{F} = m \frac{\ddot{\mathbf{r}}'}{k}$，也就是$\mathbf{F} = \frac{m}{k} \ddot{\mathbf{r}}'$——这时候第二定律的形式已经改变了，相当于“有效质量”变成了原来的$1/k$，或者说力的观测结果被扭曲了，这不符合惯性系要求的物理规律不变的原则。

如果同时缩放时间和空间，比如让$\mathbf{r}'=k\mathbf{r}$，$t'=mt$，那么二阶导数$\ddot{\mathbf{r}}' = \frac{k}{m^2} \ddot{\mathbf{r}}$，代入第二定律会得到$\mathbf{F} = m \frac{m^2}{k} \ddot{\mathbf{r}}' = \frac{m^3}{k} \ddot{\mathbf{r}}'$，形式还是变了。除非你同时对质量和力也做缩放：比如让$m' = \frac{k}{m^2}m$，$\mathbf{F}' = \frac{k}{m^2}\mathbf{F}$，但这就相当于重新定义了物理量的单位，而不是单纯的参考系变换了——参考系变换应该只改变观测坐标，不改变物理量本身的定义。

再回到作者给出的变换形式：$\mathbf{R} \in O(3)$是正交群，正交变换的核心特点是保持内积不变，也就是长度、角度这些几何量都不会改变，而尺度变换显然不属于正交变换，所以不在这个一般形式里。

总结一下：单纯的尺度变换后的参考系，要么无法保持牛顿力学规律的原有形式（而这是惯性系的核心要求），要么需要重新定义物理量单位——后者已经超出了我们通常所说的“惯性系之间的变换”范畴，所以作者给出的伽利略变换形式里没有包含尺度变换。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Nameless