正切半角形式下sinθ的恒等式判定及解方程丢失解的相关问询

嗨，我有两个关于正切半角公式的疑问，想和大家探讨一下：

Part A #

先看正弦的半角恒等式（用正切半角表示的形式）：
$$ \sin \theta \equiv \frac{2 \tan (\frac{\theta}{2})}{1 + \tan^2 (\frac{\theta}{2})} $$
当$\theta = \pi$的时候，左边（LHS）是有确定值的，但右边（RHS）却没有定义，只有极限值。那这个式子还能被称为恒等式吗？毕竟恒等式不是应该对所有角度都完全等价的吗？

Part B #

用正切半角形式来转化求解正弦、余弦类的三角方程是个常规技巧，但我发现这个方法会漏掉一些有效的解。想问问这是不是高中11、12年级教材里会提到的一个知名局限？

给大家举个例子：
用正切半角恒等式求解下面这个方程：
$$\frac{1 + \sin 2\theta}{1-\cos 2\theta} = \frac {1} {2} $$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Surm