特征多项式的根与矩阵特征值为何不一致？附矩阵B计算案例

咱先把这个事儿掰扯明白：特征多项式的根和矩阵的特征值其实是完全相同的，只是两者的呈现形式不一样——一个是数值近似解，一个是符号解析解。

一步步拆解你的例子 #

1. 矩阵B的定义 #

先看你给出的目标矩阵：

B = [1 2 0 ; 2 4 6 ; 0 6 5]

2. eig(B)的数值特征值 #

用eig(B)得到的是浮点数形式的数值近似解，这是计算机通过数值算法直接算出的近似值，方便直接拿来用：

{-2.2240, 1.5109, 10.7131}

3. 特征多项式与符号解 #

通过syms x; polyB = charpoly(B,x)得到的是精确的符号特征多项式：

x^3 - 10*x^2 - 11*x + 36

而solve(polyB)给出的是这个三次方程的精确解析解——也就是用根式（甚至包含复数形式）表示的严格解，看起来复杂，但只要把这些解析解转换成数值形式，就会和eig(B)的结果完全匹配。

比如你可以跑一段代码验证：

syms x
polyB = x^3 - 10*x^2 - 11*x + 36;
roots_sym = solve(polyB);
double(roots_sym)

运行后得到的结果就是：

-2.2240
 1.5109
10.7131

和eig(B)的结果一模一样！

为啥看起来差这么多？ #

• eig是专门针对矩阵特征值的数值计算工具，直接输出近似浮点数，适合工程计算里直接用。
• solve是符号求解工具，它会尽可能给出方程的精确解析形式，对于三次方程这类非一次多项式，难免会出现带复数、嵌套根式的复杂表达式，但这些表达式的数值结果和特征值完全等价。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者M a m a D