关于Avner Friedman偏微分方程教材中线性微分算子恒零性的证明问询

嘿，刚好我对这个问题有点心得，来给你捋捋完整的证明思路，刚好能顺着你想到的单项式代入的路子往下走～

先把问题再明确一遍：
给定n维区域$\Omega$上的m阶线性微分算子：
$$L=\sum_{|\alpha |\le m} a_{\alpha}(x)D^{\alpha}\equiv \sum_{k=0}^m\sum_{\alpha_1+\ldots +\alpha_n=k}a_{\alpha_1\ldots \alpha_n} (x)D_1^{\alpha_1}\ldots D_n^{\alpha_n}$$
要证：若对所有$u\in C^m(\Omega)$都有$Lu=0$，则$L$的所有系数$a_{\alpha}(x)$在$\Omega$上恒为0。

你的思路选m次单项式代入完全踩中了关键，咱们把这个思路细化，再加上低阶系数的归纳处理，就能得到完整证明：

1. 先搞定最高阶（m阶）的系数
   取任意一个m重指标$\beta$（即$|\beta|=\beta_1+\dots+\beta_n=m$），构造函数$u(x)=(x-x_0)^{\beta=(x_1-x_{01})}{\beta_1}(x_2-x_{02})^{{\beta_2}\dots(x_n-x_{0n})}{\beta_n}$，这里$x_0$是$\Omega$中任意一点。这个函数是光滑的（属于$C^{\infty(\Omega)$），自然满足$C}m(\Omega)$的要求。

代入计算$Lu(x_0)$：
对$u(x)$求$\alpha$阶偏导$D^\alpha u(x)$，会有这样的性质：

• 当$|\alpha|<m$时，$D^\alpha u(x)$是次数为$m-|\alpha|>0$的多项式，在$x=x_0$处取值为0；
• 当$|\alpha|=m$但$\alpha\neq\beta$时，至少有一个分量$\alpha_i>\beta_i$，此时$D^\alpha u(x)=0$；
• 只有当$\alpha=\beta$时，$D^\beta u(x_0)=\beta!=\beta_1!\beta_2!\dots\beta_n!\neq0$。

所以代入算子后：
$$Lu(x_0)=\sum_{|\alpha|\le m}a_\alpha(x_0)D^\alpha u(x_0)=a_\beta(x_0)\cdot\beta!$$
题目中要求$Lu=0$对所有合法的$u$成立，所以$a_\beta(x_0)\cdot\beta!=0$，结合$\beta!\neq0$，可得$a_\beta(x_0)=0$。

因为$x_0$是$\Omega$中任意一点，$\beta$是任意m重指标，所以所有m阶系数$a_\alpha(x)$（$|\alpha|=m$）在$\Omega$上恒为0。

2. 归纳处理低阶系数
   假设对于所有$k>t$（$0\le t<m$）的k阶系数都已经证明恒为0，现在处理t阶系数：
   取任意t重指标$\gamma$（$|\gamma|=t$），构造函数$u(x)=(x-x_0)^{\gamma$，同样属于$C}\infty(\Omega)$。代入$Lu(x_0)$：
   此时所有$|\alpha|>t$的系数已经被证明为0，只剩下$|\alpha|\le t$的项：
   $$Lu(x_0)=\sum_{|\alpha|\le t}a_\alpha(x_0)D^\alpha u(x_0)$$
   类似的，当$|\alpha|<t$时，$D^\alpha u(x_0)=0$；当$|\alpha|=t$且$\alpha\neq\gamma$时，$D^\alpha u(x_0)=0$；只有$\alpha=\gamma$时，$D^\gamma u(x_0)=\gamma!\neq0$，所以：
   $$Lu(x_0)=a_\gamma(x_0)\cdot\gamma!=0$$
   由此可得$a_\gamma(x_0)=0$，结合$x_0$的任意性，所有t阶系数恒为0。

3. 归纳完成，结论成立
   从最高阶m到0阶逐个归纳证明，所有系数$a_\alpha(x)$在$\Omega$上都恒为0，所以算子$L\equiv0$。

其实你的思路已经摸到了核心——用带中心的单项式代入，利用多项式导数的特殊性“筛选”出对应系数，再结合任意点的局域性，就能一步步把所有系数都证为0啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者MathematicalPhysicist