伽马函数高斯乘法公式的使用方法及有效参数选择咨询

你好呀！针对你关于伽马函数高斯乘法公式的使用疑问，我来帮你梳理下思路~

首先先明确下高斯乘法公式的标准形式（当$n\in \Bbb Z^+ \wedge nx\notin \Bbb Z^-\cup{0}$时）：
$$\Gamma(nz)=(2\pi)^{(1-n)/2}n{nz-(1/2)}\prod_{k=0}^{n-1}\Gamma\left(z+\frac{k}{n}\right)$$

你提到的两个例子很有代表性：

• 当取$z=\frac{1}{2}, n=2$时，展开乘积得到$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\Gamma(1)=\sqrt{\pi}$，这个结果确实可以通过伽马函数的反射公式直接得到，所以没有产生新的独立公式——这是因为这个参数组合对应的伽马函数点都是基础恒等式已经覆盖的特殊点。
• 而当你取$z=\frac{1}{3}, n=4$时，展开后的乘积是$\Gamma\left(\frac{1}{3}\right)\Gamma\left(\frac{7}{12}\right)\Gamma\left(\frac{5}{6}\right)\Gamma\left(\frac{13}{12}\right)$，结合高斯乘法公式推导后得到的$\Gamma\left(\frac{7}{12}\right)\Gamma\left(\frac{5}{6}\right)\Gamma\left(\frac{13}{12}\right)=\frac{\pi\sqrt{\pi}}{3\sqrt[6]{2}}$就很有价值了，因为它把几个无法通过基础反射/余元公式直接关联的伽马函数值结合起来，形成了新的恒等式。

接下来重点说怎么选$n,z$才能得到这类有用的新公式：

• 避开基础恒等式覆盖的参数：尽量不要选$z$使得$z+\frac{k}{n}$是整数、半整数，或者能直接通过$1-x$转化为已知特殊值的点（比如$x=1/2,1/4,3/4$这类），这些情况大多能被反射公式、递推公式直接解决，不会产生新结果。
• 优先选择分母较小的分数组合：比如$z$取分母为3、4、6、12的分数，$n$取和$z$分母有公因数但不是倍数的正整数，比如$z=1/4,n=3$、$z=1/6,n=4$这类组合，得到的伽马函数参数会是分母为12、24这类的分数，组合后能得到形式简洁且有实用价值的恒等式。
• 避开$z$是$1/n$的整数倍：如果$z=\frac{k}{n}$（$k$为整数），乘积会变成$\prod_{m=k}^{k+n-1}\Gamma\left(\frac{m}{n}\right)$，这类情况大多可以通过高斯余元公式直接计算，不会产生新的独立公式。
• 善用递推关系简化：乘积中如果出现大于1的参数（比如你的例子里的$\Gamma(13/12)$），可以用$\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$把它转化为小于1的参数形式，这样能得到更简洁的最终等式。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Faoler