变系数递推方程的解析求解方法咨询

各位好，我现在卡在了一个变系数递推方程的解析求解上，想请教下大家的思路：

我有这么一个递推方程：
$$f(n+1)=f(n) + (1 − f(n))\cdot \frac{1}{2+n}\cdot\frac{2}{3+n}\cdot\frac{6}{7+n}$$
初始条件是 $f(1)=\frac{2}{7}$。

我用WolframAlpha算出了解析解是 $f(n)=\frac{n(n+7)}{2(n+1)(n+6)}$，但我想知道怎么手动通过解析方法推导出来。我查过的资料里要么只讲系数为常数的简单情况，要么就是刚好能凑出简化形式的方程，这个方程我怎么试都搞不定：

• 我试过生成函数法，但因为系数的结构太零散，完全走不通；
• 也试过一些常规的递推变形技巧，但都没找到突破口。

如果有人能讲讲这类变系数递推方程的处理思路，或者推荐一些讲解这类方法的文章，我会非常感激！

更新内容 #

我把 $f(n)$ 换成了更常用的数列记号 $a_n$，这样初始条件就是 $a_1 = \frac{2}{7}$，递推式改写为：
$$a_{n+1}=a_n + (1 − a_n)\cdot \frac{1}{2+n}\cdot\frac{2}{3+n}\cdot\frac{6}{7+n}$$
接下来尝试求解这个递推关系……（原文此处内容截断）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Trees