如何证明这两个k-代数不同构？

嘿，你的初始思路其实完全找对了方向，只是需要把等价类的性质明确化，不用纠结～我们可以从零因子和可逆元的结构差异出发，严谨证明这两个k-代数不同构，具体步骤如下：

首先回忆k-代数同构的关键性质：如果两个k-代数$A$和$B$同构，那么它们的代数结构会完全对应——同构映射会把零因子映成零因子，可逆元映成可逆元，甚至整个代数的零因子、可逆元的存在性和结构都必须一致。

分析第一个代数：$A = k[x,y]/\langle xy \rangle$ #

• 这个代数里的元素都是多项式$f(x,y)$模掉理想$\langle xy \rangle$的等价类，记为$\overline{f(x,y)}$。
• 看元素$\overline{x}$：我们能找到$\overline{y} \neq \overline{0}$，使得$\overline{x} \cdot \overline{y} = \overline{xy} = \overline{0}$，所以$\overline{x}$是零因子。
• 同时$\overline{x}$不是可逆元：假设存在$\overline{g(x,y)}$使得$\overline{x} \cdot \overline{g(x,y)} = \overline{1}$，那就意味着$xg(x,y) - 1$属于理想$\langle xy \rangle$，即$xg(x,y) = 1 + xy \cdot h(x,y)$对某个多项式$h$成立。但左边多项式的常数项是0，右边的常数项是1，显然矛盾，所以$\overline{x}$不可逆。
• 更关键的是：$A$中存在大量零因子，比如$\overline{y}$、$\overline{x^2}$等，整个代数不是整环。

分析第二个代数：$B = k[x,y]/\langle xy-1 \rangle$ #

• 这个代数里的等价类$\overline{x}$满足$\overline{x} \cdot \overline{y} = \overline{xy} = \overline{1}$，所以$\overline{x}$有逆元$\overline{y}$，是可逆元。
• 进一步看，$B$其实和Laurent多项式环$k[x, x^{-1}]$同构（把$\overline{y}$看作$\overline{x}$的逆元即可），而Laurent多项式环是整环——任何两个非零元素相乘都不会得到0，也就是说$B$中不存在零因子。

最后推导矛盾 #

如果$A$和$B$同构，那么同构映射必须把$A$中的零因子（比如$\overline{x}$）映成$B$中的零因子，但$B$里根本没有零因子，这就产生了矛盾。

或者从可逆元的角度看：$A$的可逆元只有$k$中的非零常数（任何含$x$或$y$的元素都无法找到逆元），而$B$的可逆元除了$k^{\times$，还有$\overline{x}}n$（$n$为任意整数），两者的可逆元群结构完全不同，也能说明它们不可能同构。

你的初始想法其实抓住了核心，只要把等价类的元素性质明确下来，这个结论就很清晰啦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mr Prof