关于ψ_y积分表达式推导的疑问求助

在某本书中，我们可以看到如下推导：
$$g(t,r)=\iint_{|z|\leqslant r} (iu_x-u_y)\text{d}x\text{d}y=i\iint_{|z|\leqslant r}(u_x+iu_y)\text{d}x\text{d}y=i\int_0^r\int_0{2\pi}(u_x+iu_y)\rho\text{d}\rho\text{d}\theta$$
令 $y=r^{2$，$\psi(t,y)=g(t,r}2)$；于是可得 $\psi_y=g_r \cdot r_y=\frac{g_r}{2r}$，结合相关方程后得到：
$$\psi_y=\frac{1}{2}\int_{|z|=r^2}(u_x+iu_y)\frac{\text{d}z}{z}$$

我现在卡在这里了，想请教一下：为什么最终的$\psi_y$会是这个积分形式呢？

我自己试着推导了一遍，步骤是这样的：
$$\psi_y=\frac{i}{2r}\frac{d}{dr}\int_0^{r2}\int_0^{2\pi}(u_x+iu_y)\rho d\rho d\theta=\frac{i}{2r} \cdot 2r \int_0^{{2\pi}(u_x+iu_y)r}2d\theta=ir^2\int_0{2\pi}(u_x+iu_y)d\theta$$

可这个结果和书中给出的完全不一样，我实在找不到哪里出错了，有没有懂行的朋友能帮我理清楚这个推导逻辑呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者xyz