关于某分布在高p极限下的狄拉克δ近似特性的技术问询

我来梳理一下这个分布的狄拉克δ近似特性，咱们一步步拆解来看：

给定参数 (a>0, p>0)，这个分布的函数定义为：
$$
F(x)=\left{\begin{matrix}\frac{J_2(a\sqrt{p^2-x2})}{x- p} & -p<x<p \ 0 & \text{otherwise}\end{matrix}\right.
$$
这里的 (J_2) 是二阶贝塞尔函数。

我要说明的是：当 (p) 趋于无穷大时，(F(x)) 会近似狄拉克δ函数，核心依据有两点：

• 首先，在 (p\rightarrow\infty) 的极限下，(F(x)) 在除 (x=p) 以外的所有点都趋近于0；
• 其次，它的积分满足归一化的极限要求：
  $$\int_{-p}^{p} F(x) dx = \frac{a^2 p^2-2 a p \sin (a p)-2 \cos (a p)+2}{a^2 p^2} \tag{1}$$
  当 (p) 趋向无穷大时，这个积分的结果会收敛到1，完全符合狄拉克δ函数的归一化特性。

进一步推广到测试函数的场景：对于任意性质良好的测试函数 (f(x))，我们可以得到：
$$\lim_{p\rightarrow\infty} \left(f(p)-\int_{-\infty}^{\infty} F(x) f(x) dx \right) = 0$$
换句话说，当 (p) 足够大时，(F(x)) 对测试函数的积分就近似等于 (f(p))，这正是狄拉克δ函数 (\delta(x-p)) 的核心作用——精准筛选出测试函数在 (x=p) 处的取值。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Wouter