已知两圆的一个交点，求另一交点的简便方法

嘿，这个场景我太熟了！既然已经握了一个交点B，还有两个圆心cAB（就叫它O₁吧）、cBC（叫O₂）的位置，真的不用绕去列直线方程再联立求解，用向量来算简直是捷径！

核心思路其实就抓一个几何性质：两圆的圆心连线，是两个交点连线的垂直平分线。也就是说，你要找的点P，其实就是B关于直线O₁O₂的对称点——这也是你图里提到的结论，那怎么用向量快速算出P呢？

给你个直接能用的向量计算步骤，代入坐标就能算：

• 先把所有点用坐标向量表示（比如O₁=(x₁,y₁)，O₂=(x₂,y₂)，B=(x_B,y_B)）
• 计算圆心连线的向量 d = O₂ - O₁，也就是(x₂-x₁, y₂-y₁)
• 计算向量 u = B - O₁，也就是(x_B-x₁, y_B-y₁)
• 算投影系数 t = (u · d) / |d|²（这里·是向量点积，|d|²是d的模长平方，也就是(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²）
• 最后算出P的坐标：P = 2*(O₁ + t*d) - B

为啥这个方法管用？其实O₁ + t*d就是点B在直线O₁O₂上的投影点M，而对称点P满足M是BP的中点，所以P=2M-B，一步到位！

举个简单例子验证下：如果O₁=(0,0)，O₂=(2,0)，B=(0,1)，那d=(2,0)，u=(0,1)，t=(0*2 +1*0)/(2²+0²)=0，M=(0,0)+0*(2,0)=(0,0)，P=2*(0,0)-(0,1)=(0,-1)——确实是B关于O₁O₂（x轴）的对称点，而且也是两圆的另一个交点，完美！

这种方法全程都是坐标运算，不用解复杂的方程组，代码实现起来也超简单，绝对比你想的列直线方程再联立要高效得多～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者xenoid