函数是否‘保持’等价关系？关于集合论作业中等价关系证明的疑问

最近我在拓扑学入门课的集合论基础部分做作业，碰到这么一道题：

设 ( f: A \to B ) 是一个函数，在集合 ( A ) 上定义关系 ( \sim )：( a \sim b ) 当且仅当 ( f(a) = f(b) )。
a) 证明 ( \sim ) 是 ( A ) 上的等价关系；
b) 证明存在唯一的双射 ( \bar{f}: A/{\sim} \to f(A) )，使得 ( f = \bar{f} \circ \pi )（其中 ( \pi ) 是 ( A ) 到商集 ( A/{\sim} ) 的自然投影）。

我在做a)部分的时候，突然发现自己全程都没用到题目里提到的“( f ) 是满射”这个条件！我的证明过程是这样的：

• 自反性：对任意 ( a \in A )，显然 ( f(a) = f(a) )，所以 ( a \sim a )；
• 对称性：如果 ( a \sim b )，那就意味着 ( f(a) = f(b) )，根据等式的对称性，自然有 ( f(b) = f(a) )，所以 ( b \sim a )；
• 传递性：如果 ( a \sim b ) 且 ( b \sim c )，即 ( f(a) = f(b) ) 且 ( f(b) = f(c) )，根据等式的传递性，可得 ( f(a) = f(c) )，所以 ( a \sim c )。

仔细想了想，我在证明里用到的其实只有两个最基础的性质：

• 对所有 ( a \in A )，( f(a) = f(a) )（这是所有函数都具备的基本性质，毕竟每个元素的像都是确定的）；
• 等式本身的对称性和传递性——这是数学里等式的固有属性，和函数 ( f ) 本身无关。

这就让我有点困惑了：难道题目里说 ( f ) 是满射，其实是给b)部分准备的条件？毕竟a)里不管 ( f ) 是不是满射，这个由函数诱导的关系都天然满足等价关系的三个条件啊？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Joe Jameson