切比雪夫关联不等式的应用及一类随机变量期望不等式的证明问询

各位大佬好，我现在遇到了这么一个随机变量期望不等式的证明问题，想请教大家：

假设$X$是一个随机变量，$f \geq 0$是一个非递增函数，$g$是一个非递减实值函数。设$h \geq 0$是一个满足$h(X)$期望有限，且$E[h(X)f(X)] \leq E[h(X)]$的函数。在所有期望都有限的前提下，需要证明：
$$E[f(X)g(X)h(X)] \leq E[h(X)g(X)].$$

我目前已经掌握了一个相关结论：如果$Y \geq 0$，那么有
$$E[Y] E[Yf(X)g(X)] \leq E[Yg(X)] E[Yf(X)],$$
很明显，如果$g(X) \geq 0$的话，直接令$Y = h(X)$就能立刻得到要证的结论。但如果$g(X)$不满足非负的话，那么$E[h(X)f(X)]E[h(X)g(X)] \leq E[h(X)]E[h(X)g(X)]$这个式子可能就不成立，我卡在这儿不知道该怎么继续推导了，希望能得到大家的指点。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1253808