非负实数域中不等式(ab + 1)(a + b) ≥ 4ab的证明及等号成立条件咨询

嘿，我来帮你把这个不等式的证明理清楚，顺便讲讲等号什么时候成立！

我们要证的是：对任意非负实数(a)和(b)，
$$(ab + 1)(a + b) \geq 4ab$$
始终成立。

第一步：展开左侧式子先 #

先把左边的乘积展开，这样更容易分析：
$$(ab + 1)(a + b) = a^2b + ab^2 + a + b$$
这样原不等式就变成了：
$$a^2b + ab^2 + a + b \geq 4ab$$
把右边的(4ab)移到左边，就得到需要证明非负的式子：
$$a^2b + ab^2 + a + b - 4ab \geq 0$$

第二步：用AM-GM不等式来推导 #

这里我们用**算术-几何均值不等式（AM-GM）**来处理，这个不等式说的是：对非负实数，算术平均数永远大于等于几何平均数，也就是(x_1+x_2+...+x_n \geq n\sqrt[n]{x_1x_2...x_n})，等号当且仅当所有(x_i)相等时成立。

我们把左边的(a^2b)、(ab2)、(a)、(b)这四项代入AM-GM：
$$\frac{a^2b + ab^2 + a + b}{4} \geq \sqrt[4]{a^2b \cdot ab^2 \cdot a \cdot b}$$
先算根号里的乘积：
$$a^2b \cdot ab^2 \cdot a \cdot b = a^{2+1+1}b{1+2+1} = a^4b4 = (ab)^4$$
四次根号开出来就是(ab)，所以：
$$\frac{a^2b + ab^2 + a + b}{4} \geq ab$$
两边乘4，就得到：
$$a^2b + ab^2 + a + b \geq 4ab$$
这正好就是我们需要证明的式子，所以原不等式成立！

等号成立的条件 #

根据AM-GM的等号规则，当且仅当所有参与运算的项相等时，等号才成立，也就是：
$$a^2b = ab^2 = a = b$$
我们来解这个等式：

• 先看(a = b)的情况：
  • 如果(a \neq 0)，代入(a^2b = a)，因为(b=a)，所以(a^3 = a)，两边除以(a)得(a^2=1)，又因为(a)是非负实数，所以(a=1)，此时(b=1)；
  • 如果(a = 0)，那(b=0)，代入原不等式左边是((0+1)(0+0)=0)，右边是(4\times0\times0=0)，等号也成立。

所以等号成立的情况只有两种：(a = b = 0)，或者(a = b = 1)。

（另外还有一种更直观的分组方法：把式子拆成((a^2b + b) + (ab^2 + a))，对每组用AM-GM：(a^2b + b = b(a^2 + 1) \geq 2ab)（因为(a^{2+1\geq2a)），同理(ab}2 + a = a(b^2 +1)\geq2ab)，两组加起来就是(a^2b + b + ab^2 +a \geq4ab)，结果一样，等号条件也相同）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1316790