关于n维欧几里得向量空间广义旋转矩阵在三维空间y轴旋转场景下的定义咨询

我最近在研究n维欧几里得向量空间$V$上的线性映射变换矩阵，碰到了这个广义旋转矩阵的定义：

$$R_{ij}(\theta) := \begin{bmatrix}I_{i-1} & 0 & ... & ... & 0 \
0 & \cos(\theta) & 0 & -\sin(\theta) & 0 \
0 & 0 & I_{j-i-1} & 0 & 0 \
0 & \sin(\theta) & 0 & \cos(\theta) & 0\
0 & ... & ... & 0 & I_{n-j}\end{bmatrix}$$

这个$R_{ij}$是线性映射$\Phi : V \rightarrow V$对应的变换矩阵，核心作用就是把向量的第i和第j个分量逆时针旋转$\theta$角。我目前用的是$\mathbb{R^3}$的标准基（也就是$(e_1, e_2, e_3)$，或者大家更熟悉的(x, y, z)坐标系），但对这个矩阵定义在绕$e_2$（y轴）旋转的场景下的具体形式有点懵，想搞清楚对应的情况：

比如绕y轴旋转时，其实是x（对应$e_1$）和z（对应$e_3$）这两个分量在做旋转，那是不是应该对应i=1、j=3的情况？代入这个广义矩阵的话，具体展开成3阶矩阵会是什么样的？我有点拿不准，想确认下这个对应关系是不是正确的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者nameless___