斐波那契数列满足$F_{n} \geq n^{2}$（$n \geq n_0$）的归纳证明补全问询

哈喽～我把这个关于斐波那契数列的归纳证明相关内容整理成清晰的格式啦👇

注：这个问题最初是用户hd1提出的，但在我差不多写完答案后他修改了问题，所以我重新发布出来供大家参考，如果不允许这么做，请在评论里告诉我，我会删除。

归纳证明：当$n \geq 12$时，$F_{n} \geq n^{2}$ #

我们用数学归纳法来完成这个命题的证明：

1. 基础情况验证 #

首先确认初始值的正确性：

• 当$n=12$时，$F_{12}=144$，而$12^2=144$，显然$144 \geq 144$，命题成立。
• 为了后续归纳假设的便利性，我们额外验证$n=13$的情况：
  $F_{13}=233$，$13^2=169$，显然$233 \geq 169$，命题同样成立。

2. 归纳假设 #

假设对于所有满足$12 \leq k \leq n$（其中$n \geq 13$）的整数$k$，命题都成立，也就是**$F_k \geq k^2$**。

3. 归纳步骤（补全证明） #

接下来我们要证明当$n+1$时，$F_{n+1} \geq (n+1)^2$：
根据斐波那契数列的定义，$F_{n+1}=F_n + F_{n-1}$，结合我们的归纳假设，可以得到：
$$F_{n+1} \geq n^2 + (n-1)^2$$
现在只需要证明$n^2 + (n-1)^2 \geq (n+1)^2$即可：
展开两边式子：
左边：$n^2 + (n^2 - 2n + 1) = 2n^2 - 2n + 1$
右边：$n^2 + 2n + 1$
将左右两边相减：
$(2n^2 - 2n + 1) - (n^2 + 2n + 1) = n^2 - 4n = n(n-4)$
因为$n \geq13$，所以$n(n-4) \geq 13 \times 9 = 117 > 0$，即左边大于等于右边，因此$F_{n+1} \geq (n+1)^2$，命题得证。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Math Admiral