关于是否存在n使得b进制下n^k的数位和模M余r的技术问询

先明确相关定义与变量：

• 设 (b, k, M \in \mathbb{N} \setminus {1})（即b、k、M均为大于1的自然数）
• (r) 是取值范围为 ({0, 1, \dots, M-1}) 的整数
• 函数 (S_b: \mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{N}_0) 的作用是：计算输入的非负整数在b进制下的数位和

核心问题：是否存在某个非负整数 (n \in \mathbb{N}_0)，使得以下同余式成立？
$$
S_b(n^k) \equiv r \pmod{M}
$$

问题背景 #

我之前在研究一个数论相关问题时做了代码实验，当时是针对 (k=3)、(b=10) 的特定场景，结果发现当 (2 \le r \le 7) 且 (M=9) 时，哪怕把n的范围开到 (10^8)，也找不到任何满足条件的数。这让我对开头那个更一般化的问题产生了浓厚兴趣。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者EnEm