关于Stack Project交换代数119.2中$P(y/x)=0$的疑问

嘿，咱们一步步拆解这个问题，核心是把线性映射的Cayley-Hamilton等式和局部化后的元素联系起来：

首先回顾背景条件：$(R,m)$是局部Noetherian环，$x\in m$是非零因子，$y\in R$满足$ym\subset xm$。这时候定义的$\varphi: m\to m, f\mapsto yf/x$是良定的——因为$ym\subset xm$，对任意$f\in m$，$yf$一定能写成$xg$（$g\in m$），而$x$是非零因子，所以$g=yf/x$唯一且属于$m$。

接下来，Cayley-Hamilton定理能应用在这里，是因为$m$是有限生成的$R$-模（Noetherian环的极大理想必然有限生成），$\varphi$是$m$上的$R$-模同态。所以存在首一多项式$P(X)=X^n+a_1X{n-1}+\dots+a_n\in R[X]$，使得$P(\varphi)=0$作为$m$上的同态——意思是对任意$f\in m$，都有：
$$\varphi^{n(f)+a_1\varphi}{n-1}(f)+\dots+a_n f=0$$

我们来展开$\varphi^{k(f)$：$\varphi(f)=yf/x$，$\varphi}2(f)=\varphi(yf/x)=y\cdot(yf/x)/x=y^2f/x2$，以此类推，$\varphi^k(f)=yk f/x^k$。代入上面的等式后得到：
$$\frac{y^n f}{x^{n}+a_1\frac{y}{n-1}f}{x^{n-1}}+\dots+a_n f=0$$

把这个式子放到局部化环$R_x$里看（$x$是非零因子，局部化合法），给等式两边同时乘以$x^n$（$x$在$R_x$里是单位，乘完等式依然成立），整理后得到：
$$\left(y^n+a_1y{n-1}x+\dots+a_n x^n\right)f=0$$
对所有$f\in m$都成立。

这里关键的一点：因为$x\in m$，在$R_x$里$x$是可逆元，所以$mR_x=R_x$（极大理想$m$包含可逆元$x$，局部化后整个理想就变成了整个环）。也就是说，上面的等式不仅对$m$中的元素成立，对$R_x$里的任意元素都成立——$R_x$里的每个元素都能写成$m$中元素除以$x$的幂次，乘$x$的幂次不改变等式的零性。

最后看$P(y/x)$：在$R_x$里，
$$P\left(\frac{y}{x}\right)=\left(\frac{y}{x}\right)^{n+a_1\left(\frac{y}{x}\right)}{n-1}+\dots+a_n=\frac{y^n+a_1y{n-1}x+\dots+a_n x^n}{xn}$$
分子就是那个对所有$R_x$中元素$z$都满足“分子$\cdot z=0$”的元素。在环里，如果一个元素乘以任意元素都等于0，那这个元素本身就是0。所以分子在$R_x$里是0，因此$P(y/x)=0$在$R_x$里成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Functor