线性规划解的存在性：基于传统实数分析工具的可行性证明探讨

咱们先明确讨论的前提背景：如果一个线性规划问题是最大化 $c^{\top} x$，约束条件为 $Ax \leq b$ 且 $x \geq 0$，当它满足两个关键条件时：

• 可行：存在至少一个$x$满足所有约束条件
• 上方有界：存在实数$M$，使得所有可行解$x$都满足 $c^{\top} x \leq M$
  那么这个问题一定存在最优解。

通常这类结论的证明，都会用到凸分析领域的经典成果，比如：

• Fourier-Motzkin消元法
• Farkas引理
• 强对偶性定理
• 最优解必然出现在可行域多面体的有限个基本可行解/极点上的结论
• 单纯形算法的收敛性分析
  ……

现在有个很值得探讨的问题：能不能跳出凸分析的框架，改用传统实数分析的工具来证明这个结论？比如沿着Bolzano-Weierstrass定理的思路推进——也就是先构造一个可行解序列，让这个序列对应的目标函数值不断逼近目标函数的上确界，接着证明这个序列存在收敛子序列，并且它的收敛点就是原问题的最优解？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mark