判断矩阵列向量在商空间中的像的线性无关性及等价判定问题

嘿，我来给你捋清楚这个商空间下线性无关性的判定问题~

假设我们有一个m维有限维向量空间V，而且已经固定了一组基；U是V的子空间，它的基由l×n矩阵A的列向量给出（这里A的列肯定是线性无关的，毕竟是子空间的基嘛）；另外还有个m×n矩阵B。现在我们要搞明白：B的列向量在商空间V/U中的像，是不是线性无关的？

先给你一个核心等价结论：这个像线性无关，当且仅当分块矩阵$(A\ B)$的列向量是线性无关的。

那这个结论还能进一步用行列式来量化判定，也就是看这个分块矩阵的格拉姆矩阵的行列式是否非零：
$$\begin{aligned}
&\hspace{-2em}\det\bigl((A\ B)^T (A\ B)\bigr)\
&= \det\begin{pmatrix}A^T A &A^T B \ B^T A & B^T B \end{pmatrix} \neq 0
\end{aligned}$$
（哦对了，你原文里右下角的$B^T A$应该是笔误吧？按格拉姆矩阵的结构，这里应该是$B^T B$才对）

简单唠唠为啥是这样：对于实矩阵来说，列向量线性无关的充要条件就是它的格拉姆矩阵可逆，而行列式非零就是可逆的直接标志。而$(A\ B)$的列线性无关，本质上就是说把B的列向量和U的基向量凑到一起，整个集合还是线性无关的——这就意味着B的列向量没法被U里的向量线性表出，反映到商空间V/U里，就是它们的像不会线性相关，完美对应我们要的判定条件。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Bubaya