关于迪尼定理错误证明尝试的技术咨询

大家好，我最近在研究迪尼定理的证明，先跟大家明确一下相关的基础定义和定理内容：

• 我把$C(X,\mathbb{R})$定义为从紧度量空间$X$到$\mathbb{R}$的连续函数空间，配备上确界范数。
• 迪尼定理的具体内容是：

设$(f_n)_n\subset C(X,\mathbb{R})$是一个递增的函数序列，它逐点收敛到连续函数$f$，那么$f_n$一致收敛到$f$。

我自己试着写了一个证明，但写完立刻意识到这肯定是错的——因为我全程都没用到序列是递增的这个关键条件！迪尼定理里这个条件可是必不可少的，所以我的证明思路绝对存在逻辑漏洞。下面是我的证明尝试的开头部分：
设$\varepsilon>0$，定义集合$A_{n,\varepsilon}={x\in X : |f(x)-f_n(x)|<\varepsilon}$。我们知道$A_{n,\varepsilon}$...（后续内容未完整给出）

想请教各位大佬，我的这个证明思路到底哪里出了问题？为什么没用到递增条件就一定不成立？毕竟缺了递增条件的迪尼定理是不成立的，我肯定在某个环节上忽略了关键的逻辑前提。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者G2MWF