域扩张下线性无关性的保持：矩阵Ax+B列线性无关性的证明问询

各位好，我现在遇到一个域论相关的问题，想和大家探讨一下：

设$L/K$是一个域扩张，元素$x \in L$是$K$上的超越元。令$A$和$B$是两个同型的$K$-矩阵。我想要证明：如果$A$在$K$上的列向量线性无关，那么矩阵$Ax+B$在$L$上的列向量也线性无关。

下面是我目前的尝试思路：

矩阵$Ax+B$的列向量线性无关，等价于方程$(Ax+B)v = 0$在$L$上不存在非平凡解（这里$v$是$L$上的向量）。我想着通过比较系数来推导，打算把$v$表示成$v = \cdots + v_{1/x}\frac{1}{x} + v_0 + v_1x + \cdots$这样的形式，但后续的推导还没理清楚，想问问大家有没有什么思路，或者我的方向是否正确？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Bubaya