是否存在强可微但非连续可微的函数？
当然存在这样的函数！先帮你再明确下强可微的定义：函数$f:(a,b) \to \mathbf{R}$在点$x$处强可微，是指对任意$\varepsilon > 0$，都能找到一个$\delta > 0$，使得映射$h \mapsto f(x+h)-f(x)-f'(x)h$在$|h| < \delta$的范围内是$\varepsilon$-利普希茨的（也就是对任意$|h_1|,|h_2| < \delta$，都有$|f(x+h_1)-f(x)-f'(x)h_1 - (f(x+h_2)-f(x)-f'(x)h_2)| \leq \varepsilon |h_1 - h_2|$）。
接下来给你举个具体的例子：
我们定义函数$f(x)$如下：
$$
f(x) =
\begin{cases}
x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) & \text{当 } x \neq 0, \
0 & \text{当 } x = 0.
\end{cases}
$$
先分析它的可微性和连续可微性：
- 当$x \neq 0$时，直接求导可得$f'(x) = 2x \sin\left(\frac{1}{x}\right) - \cos\left(\frac{1}{x}\right)$；
- 当$x = 0$时，用导数定义计算：$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin\left(\frac{1}{h}\right) = 0$，所以$f$在$\mathbb{R}$上处处可微。
- 但$f'(x)$在$x=0$处不连续：当$x \to 0$时，$\cos\left(\frac{1}{x}\right)$会在$-1$到$1$之间无限振荡，没有极限，因此$f$不是连续可微的。
现在验证它在$x=0$处是强可微的：
我们需要看映射$g(h) = f(0+h) - f(0) - f'(0)h = h^2 \sin\left(\frac{1}{h}\right)$（$h \neq 0$时），$g(0)=0$。要证明对任意$\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$，当$|h_1|,|h_2| < \delta$时，$|g(h_1) - g(h_2)| \leq \varepsilon |h_1 - h_2|$。
对任意$h_1, h_2 \neq 0$，利用三角不等式：
$$
|g(h_1) - g(h_2)| = \left| h_1^2 \sin\left(\frac{1}{h_1}\right) - h_2^2 \sin\left(\frac{1}{h_2}\right) \right|
$$
拆成两部分：
$$
\leq \left| h_1^2 \sin\left(\frac{1}{h_1}\right) - h_2^2 \sin\left(\frac{1}{h_1}\right) \right| + \left| h_2^2 \sin\left(\frac{1}{h_1}\right) - h_2^2 \sin\left(\frac{1}{h_2}\right) \right|
$$
第一部分化简为$|\sin\left(\frac{1}{h_1}\right)| \cdot |h_1^2 - h_2^2| \leq |h_1 - h_2|(|h_1| + |h_2|)$（因为$|\sin t| \leq 1$）；
第二部分用三角函数的不等式$|\sin A - \sin B| \leq |A - B|$，所以：
$$
\left| h_2^2 \sin\left(\frac{1}{h_1}\right) - h_2^2 \sin\left(\frac{1}{h_2}\right) \right| \leq h_2^2 \left| \frac{1}{h_1} - \frac{1}{h_2} \right| = |h_2| \cdot |h_1 - h_2|
$$
现在取$\delta = \frac{\varepsilon}{3}$，当$|h_1|,|h_2| < \delta$时：
- 第一部分的$(|h_1| + |h_2|) < 2\delta < \frac{2\varepsilon}{3}$，所以第一部分$\leq \frac{2\varepsilon}{3} |h_1 - h_2|$；
- 第二部分的$|h_2| < \delta < \frac{\varepsilon}{3}$，所以第二部分$\leq \frac{\varepsilon}{3} |h_1 - h_2|$；
两部分加起来，$|g(h_1)-g(h_2)| \leq \left( \frac{2\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} \right)|h_1 - h_2| = \varepsilon |h_1 - h_2|$，完全满足强可微的定义。
而在$x \neq 0$的点，$f'(x)$是连续的（初等函数组合的导数），所以$f$在这些点自然也是强可微的（连续可微蕴含强可微）。
这样一来，$f$就是一个处处强可微，但不是连续可微的函数啦。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者William M.
