利用均匀分布(0,1)的矩母函数求期望时遇未定义问题的解决方法咨询
嗨，这个问题在矩母函数求矩的时候挺常见的，核心是要处理0/0型不定式的情况，咱们可以用这几种方法来解决：
方法一：先对矩母函数做泰勒展开
首先，我们知道指数函数的泰勒展开式：
$$e^s = 1 + s + \frac{s^2}{2!} + \frac{s^3}{3!} + \dots + \frac{s^k}{k!} + \dots$$
把它代入均匀分布(0,1)的矩母函数：
$$M_X(s) = \frac{e^s - 1}{s} = \frac{(1 + s + \frac{s^2}{2!} + \frac{s^3}{3!} + \dots) - 1}{s}$$
化简后得到：
$$M_X(s) = 1 + \frac{s}{2!} + \frac{s^2}{3!} + \dots + \frac{s^{k-1}}{k!} + \dots$$
而矩母函数的泰勒展开式有个性质：$M_X(s) = \sum_{k=0}^\infty \frac{E[X^k]}{k!} sk$。对比上面的展开式，你会发现$s1$项的系数是$\frac{1}{2}$，对应$\frac{E[X]}{1!} = \frac{1}{2}$，所以直接得到$E[X] = \frac{1}{2}$。
甚至可以推广到k阶矩：$sk$项的系数是$\frac{1}{k+1}$，所以$E[Xk] = k! \times \frac{1}{k+1} = \frac{1}{k+1}$，完全避开了0/0的问题。方法二：用洛必达法则求极限
先求矩母函数的一阶导数：
$$M'_X(s) = \frac{s \cdot e^s - (e^s - 1)}{s^2}$$
当$s \to 0$时，分子和分母都趋近于0，属于0/0型不定式，这时候可以用洛必达法则：对分子分母分别求导。
分子求导后：$e^s + s \cdot e^s - e^s = s \cdot e^s$
分母求导后：$2s$
此时式子变成$\frac{s \cdot e^s}{2s} = \frac{e^s}{2}$，当$s \to 0$时，极限就是$\frac{e^0}{2} = \frac{1}{2}$，也就是$E[X]$的值。方法三：用定义验证结果
其实均匀分布(0,1)的期望可以直接用定义计算：
$$E[X] = \int_0^1 x \cdot f(x) dx = \int_0^1 x dx = \frac{1}{2}$$
这个结果可以用来验证前面两种方法得到的结论是正确的。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者moseskabungo
