对数不等式$log_x4>-2$求解步骤的错误排查

嗨，我来帮你捋清楚这个求解过程里的问题哈！

你前面的步骤：把$log_x4$转化为$2log_x2$，两边除以2得到$log_x2 > -1$，再把-1写成$log_xx^{-1}$，这些操作都是没问题的。但你忽略了对数函数的单调性和底数x的取值范围密切相关，没分情况讨论，直接默认函数是增函数，这就是漏掉$(0,\frac{1}{2})$这个解集的关键原因！

咱们分两种情况仔细拆解：

• 当$x>1$时，对数函数$log_x t$是增函数，这时候$log_x2 > log_xx^{-1}$可以直接推出$2 > x^{-1}$（因为增函数中，对数大则真数大）。两边乘正数x，得到$2x>1$，即$x>\frac{1}{2}$，结合前提$x>1$，这部分解集是$x>1$。
• 当$0<x<1$时，对数函数$log_x t$是减函数，这时候不等号方向要反转！所以$log_x2 > log_xx^{-1}$应该推出$2 < x^{-1}$（减函数中，对数大则真数小）。两边乘正数x，得到$2x < 1$，即$x < \frac{1}{2}$，结合前提$0<x<1$，这部分解集就是$0 < x < \frac{1}{2}$。

把两种情况的解合并起来，最终的解集就是$(0,\frac{1}{2}) \cup (1,+\infty)$，这就和正确结果对上啦。你之前的问题就是没考虑底数在0到1区间时对数函数的单调性变化，直接套用了增函数的规则，才漏掉了一半的解。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者addae