关于类傅里叶积分在p→∞时的衰减特性求解需求

我碰到了这么一个积分问题，它看起来跟傅里叶积分几乎一模一样，就是积分限有点特殊：
$$\int^{\infty_{\sqrt{1+1/p}2}}dx\left(\sqrt{\frac{x^2-1/p2}{x^{2-1}}-1\right)e}{-itpx},$$
这里的$t$是某个正参数。我想搞明白当$p\rightarrow \infty$时这个积分的衰减行为是什么样的。（我觉得不管$t>0$取什么值，衰减行为应该都不会变，但保险起见还是把它写出来了。对了，当$t=0$的时候，$p\rightarrow \infty$时这个积分会趋近于1。）

我现在完全不知道该怎么入手这个问题——不管是纸笔推导还是用Mathematica计算都没进展，因为我能想到的傅里叶变换常规技巧好像都不管用。（我试过把积分延拓到负半轴，发现由于$x\rightarrow -x$的对称性，负半轴的积分结果就是原积分的复共轭...）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Confuse-ray30