关于链复形范畴中Homotopy push-out研究的函子范畴投射model structure简化证明问询
嘿，我完全懂你现在的困扰——手动验证这个特定函子范畴的投射模型结构确实太磨人了，光余纤维化那堆拆分条件就够写半页纸。你提到的“sp...”应该是指**脊柱模型结构（spinal model structures）**或者更直接的，用模型范畴里关于图表范畴投射模型结构的现成构造定理吧？这里有几个能省不少事的思路，不用从零开始逐条验证模型范畴的三个公理：
1. 直接套用“可撑生成模型范畴上小函子范畴投射模型结构”的一般结论
首先，链复形范畴$\text{Ch}_k$的投射模型结构是可撑生成的——这个是现成结论：生成余纤维化是形如$S^n \to D^{n+1}$的映射，生成平凡余纤维化是$0 \to D^n$。而你用到的范畴$D$（三个对象1,0,2，两个态射1→0、2→0）是个有限小范畴。
对于可撑生成的模型范畴$\mathcal{C}$和任意小范畴$I$，函子范畴$\text{Fun}(I, \mathcal{C})$上的投射模型结构存在性是个标准结论：
- 投射弱等价：逐对象的弱等价
- 投射平凡纤维化：逐对象的平凡纤维化
- 余纤维化的刻画就是你写的那组条件
你根本不用手动验证模型范畴的三个公理（CM1-CM3），也不用拆分余纤维化的条件去硬推，直接引用这个一般定理就行——因为可撑生成模型范畴的函子范畴投射模型结构的存在性，已经通过小对象论证的推广被证明过了，你的$D$完全满足适用条件。
2. 针对$D$范畴的“特殊形状”做简化构造
你的$D$可以看作是两个“单点到单点”图表的并集：$D = ({1 \to 0}) \cup ({2 \to 0})$，粘在对象0上。我们可以分两步构造模型结构，不用一次性处理整个函子范畴：
- 先处理$\text{Fun}({1 \to 0}, \text{Ch}_k)$：这个函子范畴的投射模型结构余纤维化，本质上就是“对象0的映射是余纤维化，对象1的映射是‘沿着0的映射做拉回拼接后的余纤维化’”——和你写的$f^1$条件一致。
- 再把这个结构和$\text{Fun}({2 \to 0}, \text{Ch}_k)$的结构在$\text{Fun}({0}, \text{Ch}_k)$上“拼接”：因为这两个函子范畴在$\text{Fun}({0}, \text{Ch}_k)$上的拉回就是你要的$\text{Fun}(D, \text{Ch}_k)$，而可撑生成模型范畴的拉回（在模型范畴的2-范畴意义下）仍然是可撑生成的模型范畴，投射结构可以直接继承两个因子的性质，这也能省掉不少重复验证的工作。
3. 用“提升性质”替代公理验证
如果还是想自己动手但不想硬啃公理，那就用余纤维化的提升性质等价刻画：
投射模型结构的余纤维化，是那些对所有“逐对象平凡纤维化”具有左提升性质的映射。对你的$D$范畴，这个提升可以逐对象构造：
- 先构造对象0的提升：因为$f_0$是$\text{Ch}_k$中的余纤维化，$p_0$是平凡纤维化，直接用$\text{Ch}_k$的提升公理得到$h_0$。
- 再构造对象1的提升：利用$f^1$是$\text{Ch}_k$中的余纤维化，$p_1$是平凡纤维化，结合对象0的提升结果，直接套用$\text{Ch}_k$的提升公理得到$h_1$，并且自然满足态射的相容性（因为提升的唯一性在余纤维化条件下是自动的）。
- 对象2的提升和对象1完全对称，复制一遍就行。
这种方法不用去验证CM2（弱等价的2出3）、CM3（分解公理），只需要利用$\text{Ch}_k$已经有的提升公理，就能快速推出函子范畴的提升性质，进而确认余纤维化的刻画。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者bml64
