关于满忠实右伴随下F作用于单位态射是否为恒等态射的范畴论问题
嘿，这个问题提得很到位！咱们一步步拆解，把这个范畴论的问题说清楚：
首先先回顾一下伴随函子的基础设定：我们有伴随对 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ 和 $G: \mathcal{D} \to \mathcal{C}$，满足 $F \dashv G$，对应的单位自然变换是 $\eta: 1_\mathcal{C} \to GF$，余单位自然变换是 $\epsilon: FG \to 1_\mathcal{D}$。你已经提到了一个关键结论：当 $G$ 是完全忠实函子时，余单位 $\epsilon$ 一定是自然同构——这点完全正确，这是伴随函子理论里的标准结论，完全忠实的右伴随对应的余单位必然可逆。
接下来是你的核心疑问：$F\eta_X$（也就是函子 $F$ 作用在单位态射 $\eta_X$ 上得到的态射）是不是恒等态射？或者退一步说，它是不是同构？
结论先给：$F\eta_X$ 一定是自然同构，但不一定是恒等态射
咱们先证明为什么它是同构：
伴随函子满足两个三角恒等式（单位-余单位等式）：
- 对任意对象 $X \in \mathcal{C}$，有 $\epsilon_{F(X)} \circ F(\eta_X) = 1_{F(X)}$
- 对任意对象 $Y \in \mathcal{D}$，有 $G(\epsilon_Y) \circ \eta_{G(Y)} = 1_{G(Y)}$
因为 $G$ 完全忠实，$\epsilon$ 是自然同构，所以 $\epsilon_{F(X)}$ 是 $\mathcal{D}$ 中的一个可逆态射。看第一个恒等式：$\epsilon_{F(X)}$ 和 $F(\eta_X)$ 的复合是恒等态射，这说明 $F(\eta_X)$ 是 $\epsilon_{F(X)}$ 的左逆。而对于可逆态射来说，左逆必然也是右逆，所以我们可以直接推出：
$$F(\eta_X) = \epsilon_{F(X)}^{-1}$$
这就直接证明了 $F(\eta_X)$ 是同构，而且它恰好是余单位在 $F(X)$ 处的逆。
那为什么它不一定是恒等态射呢？咱们举个非常直观的例子：
考虑集合范畴 $\mathbf{Set}$ 和群范畴 $\mathbf{Grp}$，令 $G: \mathbf{Grp} \to \mathbf{Set}$ 是遗忘函子（把群映成其底层集合，把群同态映成集合映射）。遗忘函子是完全忠实的——因为群之间的同态和对应的集合映射是一一对应的，且只有保持运算的映射才能被G映出来。而它的左伴随 $F: \mathbf{Set} \to \mathbf{Grp}$ 是自由群函子，把一个集合 $X$ 映成 $X$ 生成的自由群 $F(X)$。
这里的单位 $\eta_X: X \to G(F(X))$ 是把集合 $X$ 中的元素直接映成自由群里的生成元，显然是单射。而 $F(\eta_X): F(X) \to F(G(F(X)))$ 是自由群函子作用在这个单射上得到的群同态：它把自由群 $F(X)$ 的生成元 $x$ 映到“自由群的自由群” $F(G(F(X)))$ 里的生成元 $\eta_X(x)$（也就是原来的生成元在遗忘后的集合里再次生成自由群）。这个态射显然不是恒等态射——因为 $F(G(F(X)))$ 的元素是由自由群 $F(X)$ 的元素作为生成元组成的字，比 $F(X)$ 本身的结构复杂得多，$F(\eta_X)$ 只是把 $F(X)$ 嵌入到这个更大的自由群里的单同构，绝对不是恒等。
（补充一句：你提到 $F$ 是连续的（保持极限），在这个例子里自由群函子是左伴随，左伴随保持余极限，而遗忘函子作为右伴随保持极限。如果需要找一个 $F$ 连续的例子，我们可以换偏序集的场景：比如 $\mathcal{C}$ 是偏序集 ${a \leq b}$，$\mathcal{D}$ 是单元素偏序集 ${c}$，$G$ 把 $c$ 映到 $b$（完全忠实），$F$ 把 $a,b$ 都映到 $c$（连续，因为保持偏序里的下确界），这里 $F(\eta_a)$ 是恒等，但这只是特殊情况，不是普遍结论。）
额外补充：什么时候 $F\eta_X$ 是恒等态射？
只有当 $FG = 1_\mathcal{D}$（也就是左伴随 $F$ 和右伴随 $G$ 复合是恒等函子）时，$F\eta_X$ 才会是恒等态射。因为此时余单位 $\epsilon$ 是恒等自然变换，根据三角等式，$F(\eta_X) = \epsilon_{F(X)}^{-1} = 1_{F(X)}$。但这种情况是伴随等价的特殊情况，而 $G$ 完全忠实并不意味着 $FG$ 是恒等函子（比如上面的自由群例子）。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Siyabonga Mthimkulu
