关于代数无理数的超越数次幂是否为有理数的技术问询

嘿，针对这个问题，我给你举个具体的例子来解释清楚：

我们取$a=2^{\sqrt[3]{2}$，根据**Gelfond-Schneider定理**，这个数是超越数。再看$b=\sqrt[3]{4}$，它是代数无理数——因为它是有理系数首一不可约多项式$x}3 - 4$的根，该多项式次数为3。

这里补充下多项式不可约的依据：对于域$F$上的多项式$F[x]$，如果多项式次数是2或3，且在$F$中没有根，那么它在$F$上不可约。显然$x^3 - 4$在$\mathbb{Q}$里找不到根，所以它是不可约的。

接下来我们计算$a^b$的结果：
$$
a^b = (2^\sqrt[3]{2}){\sqrt[3]{4}} = 2^{\sqrt[3]{2} \times \sqrt[3]{4}} = 2^{\sqrt[3]{8}} = 2^2 = 4
$$
你看，结果正好是有理数4！这就直接证明了：存在超越数$a$和代数无理数$b$，使得$a^b$是有理数。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Math Admiral