关于Le Gall《测度论、概率论与随机过程》中引理1.5证明的疑问

大家好，我最近在研读Le Gall的《测度论、概率论与随机过程》时，对引理1.5的证明环节产生了疑问，想过来请教一下。

先把引理内容整理出来：

引理1.5：设$E$和$F$是可分度量空间，在乘积空间$E \times F$上装备乘积拓扑，则$\mathcal{B}(E \times F) = \mathcal{B}(E) \otimes \mathcal{B}(F)$。

我的疑问集中在证明$\mathcal{B}(E) \otimes \mathcal{B}(F) \subset \mathcal{B}(E \times F)$的部分：证明过程中先固定了$F$的一个开子集$B$，然后直接断言“所有满足$A \times B \in \mathcal{B}(E \times F)$的集合$A \in \mathcal{B}(E)$构成的类包含$E$的所有开子集”。我实在没太理清这一步的逻辑，能不能有人帮我详细解释下为什么这个结论成立呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Shujun Tan