高维泰勒定理引理中的符号澄清及k阶偏导数求和含义疑问
嘿，我太懂你盯着这堆下标求和式发懵的感觉了——当初啃高维泰勒定理的时候，我也对着类似的式子卡了好久！先直接给你一个肯定的答复：你猜的完全没错，这个求和式确实代表了函数$f$的所有k阶混合偏导数的加权和，咱们一步步拆解明白：
首先，先拆解求和下标$j_1,\dots,j_k \in {1,\dots,n}$：这里的$n$是函数$f$定义域的维度（也就是你提到的高维空间的维数，比如$f: U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$）。每个下标$j_i$都可以取1到$n$中的任意整数，这意味着我们在遍历所有长度为k的下标序列——举个具体的例子，当$k=2$、$n=2$时，下标组合就有$(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)$这4种，对应了所有可能的二阶偏导顺序。
然后看求和里的每一项：
- $(D_{j_1}\cdots D_{j_k}f)(\gamma(t))$就是按顺序对$f$先求$j_1$方向的偏导，再求$j_2$方向的偏导……直到第$j_k$个方向的偏导，最后在$\gamma(t)$处求值（这里的$\gamma(t)$应该是一条连接$x$和$x+\mathbf{h}$的直线，比如$\gamma(t)=x+t\mathbf{h}$，是用来把多元函数转化为一元函数$\varphi(t)=f(\gamma(t))$的常用技巧）；
- $h_{j_1}\cdots h_{j_k}$就是向量$\mathbf{h}=(h_1,h_2,\dots,h_n)$的对应分量相乘，比如下标组合是$(1,2)$的话，就是$h_1h_2$。
可能你会注意到，当$f$是$C^{p+1}$类函数时，混合偏导的顺序不影响结果（比如$D_1D_2f=D_2D_1f$），所以这个求和式里会有重复的偏导项，但引理之所以这么写，是因为它可能还没用到混合偏导相等的性质，只是先严格枚举所有按顺序的k阶偏导——等后面推导泰勒定理的时候，就可以把重复的项合并，变成你更熟悉的带组合数的形式（比如二元函数二阶项里的$2D_{12}f h_1h_2$）。
再用$k=2$、$n=2$的例子具象化一下：
$$\varphi^{(2)}(t) = D_12f(\gamma(t))h_12 + D_1D_2f(\gamma(t))h_1h_2 + D_2D_1f(\gamma(t))h_2h_1 + D_22f(\gamma(t))h_22$$
因为$f\in C^{p+1}$，所以$D_1D_2f=D_2D_1f$，合并后就变成：
$$\varphi^{(2)}(t) = D_12f(\gamma(t))h_12 + 2D_{12}f(\gamma(t))h_1h_2 + D_22f(\gamma(t))h_22$$
是不是瞬间就和你熟悉的二元函数二阶泰勒展开的二阶项对应上了？
总结一下：你对这个求和式的理解完全正确，它就是在遍历所有k阶偏导（包括纯偏导和混合偏导），并分别乘以$\mathbf{h}$对应分量的乘积，最后求和。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者raynerk
