Sundaram定理8.5相关技术问询：单调非递增变换下的证明推导困惑

我现在对Sundaram定理8.5有个疑问，搞不懂图片里“In particular,”之后的部分。我猜测「any monotone transformation」应该包含单调递减变换，但当我假设变换是单调非递增的时候，卡在证明里了（单调非递减的情况显然是成立的）。

首先，根据凹性以及凹函数蕴含拟凹函数的结论，有：
$$f\left(\lambda x + \left(1-\lambda\right)y\right)\geq\lambda f\left(x\right)+\left(1-\lambda\right)f(y)\geq \min{f\left(x\right),f\left(y\right)}$$

如果$\phi$是单调非递增的，那么会得到：
$$\phi \left(f\left(\lambda x + \left(1-\lambda\right)y\right)\right)\leq\phi \left(\lambda f\left(x\right)+\left(1-\lambda\right)f(y)\right)\leq \phi\left(\min{f\left(x\right),f\left(y\right)}\right)$$

不过我在这里卡住了，不知道怎么把这个式子推导到$\min{\phi(f(x)), \phi(f(y))}$这一步。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tucker