关于无限维拓扑向量空间中拓扑内部之和与和的拓扑内部的包含关系反例求助

嘿，这个问题提得非常到位！在无限维拓扑向量空间（TVS）或者Banach空间里，确实不存在int(A + B)和int(A) + int(B)之间的双向包含关系——两边都可以不包含对方，我给你举两个经典的反例，一看就明白：

反例1：int(A + B)不包含于int(A) + int(B) #

我们取无限维Banach空间ℓ²（平方可和序列空间）：

• 令A为ℓ²中的闭单位球：A = {x ∈ ℓ² | ||x|| ≤ 1}，它的内部int(A)是开单位球{x ∈ ℓ² | ||x|| < 1}。
• 令B为标准基向量的倍数集合：B = {n eₙ | n ∈ ℕ}，其中eₙ是第n个分量为1、其余为0的标准基向量。因为B是离散点集，每个点都没有邻域完全包含在B中，所以int(B) = ∅。

此时：

• int(A) + int(B) = int(A) + ∅ = ∅（空集）。
• 而A + B是所有满足“存在某个n使得||x - n eₙ|| ≤ 1”的序列x，它的内部int(A + B)非空——比如围绕e₁的开球B(e₁, 1/2)，里面的每个点x都满足||x - e₁|| < 1/2 ≤ 1，完全包含在A + B里。

显然，非空的int(A + B)不可能包含于空集int(A) + int(B)，这就说明了第一个方向的不包含性。

反例2：int(A) + int(B)不包含于int(A + B) #

同样用ℓ²空间：

• 令A为闭单位球的“非负分量子集”：A = {x = (x₁, x₂, ...) ∈ ℓ² | xₙ ≥ 0, ||x|| ≤ 1}，它的内部int(A)是{x ∈ ℓ² | xₙ ≥ 0, ||x|| < 1}。
• 令B为“第一个分量非正、其余分量非负的闭单位球子集”：B = {x = (x₁, x₂, ...) ∈ ℓ² | x₁ ≤ 0, xₙ ≥ 0 (n ≥ 2), ||x|| ≤ 1}，它的内部int(B)是{x ∈ ℓ² | x₁ ≤ 0, xₙ ≥ 0 (n ≥ 2), ||x|| < 1}。

现在取两个内部点：

• u = (0, 1/2, 0, 0, ...)，它属于int(A)（所有分量非负，范数1/2 < 1）。
• v = (-1/2, 0, 0, 0, ...)，它属于int(B)（第一个分量非正，其余非负，范数1/2 < 1）。

它们的和u + v = (-1/2, 1/2, 0, 0, ...)显然在int(A) + int(B)里，但它不在int(A + B)中：
因为A + B中的任意元素z = x + y（x ∈ A, y ∈ B），其n ≥ 2的分量zₙ = xₙ + yₙ ≥ 0 + 0 = 0。而u + v的任何开邻域里，都存在像(-1/2, 1/2, -ε, 0, ...)（ε > 0很小）这样的点，它的第三个分量为负，显然不在A + B中。这说明u + v不是A + B的内点，也就证明了int(A) + int(B)不包含于int(A + B)。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Badu