关于守恒律方程$u_t + |u|_x = 0$的熵容许解证明的技术问询

架构老林

2026-4-16

嘿Paolo，我来帮你搞定这个熵容许解的证明问题。你已经知道这个分段解满足Rankine-Hugoniot条件，是分布解，接下来我们从直接验证熵不等式和利用标量守恒律的熵条件判别准则两个角度来证明它是熵容许的，后者会更直观。

你给出的熵容许条件是：对所有非负紧支测试函数$\phi$和任意实数$k$，有
$$\int_0^\infty \int_\mathbb{R} |u-k| \phi_t + \text{sgn}(u-k) \left(|u| - |k|\right) \phi_x dx dt\ge 0$$

首先，我们把积分区域按解的分段拆成三个部分：$x < -t$（$u=-1$）、$-t < x < t$（$u=0$）、$x > t$（$u=1$），再加上两条间断线$x=-t$和$x=t$的贡献。

在每个光滑区域里，$u$是常数，满足原方程$u_t + |u|_x=0$。计算熵项和熵通量的导数：

对于$u=-1$或$u=1$：$\frac{\partial}{\partial t}|u-k|=0$，$\frac{\partial}{\partial x}\left[\text{sgn}(u-k)(|u|-|k|)\right]=0$，所以这两部分积分的被积函数为0。
对于$u=0$：$\frac{\partial}{\partial t}|0-k|=0$，$\frac{\partial}{\partial x}\left[\text{sgn}(-k)(-|k|)\right]=\frac{\partial}{\partial x}(-k)=0$，积分被积函数也为0。

所以光滑区域的积分总和为0，只需关注两条间断线的跳跃项。

对于标量守恒律的间断解，熵不等式的间断形式为：间断速度$s$满足$s[\eta(u)] \ge [q(u)]$，其中$\eta(u)=|u-k|$是熵，$q(u)=\text{sgn}(u-k)(|u|-|k|)$是熵通量，$[\cdot]$表示间断处右侧值减左侧值。

左侧$u=-1$，右侧$u=0$：

代入$s=-1$，验证$-1 \cdot (|k| - |k+1|) \ge [q(u)]$：

当$k \ge 0$：左边$=-k + (k+1)=1$，右边$=k - (-1)(1-k)=k+1-k=1$，等号成立。
当$-1 \le k <0$：左边$=k + (k+1)=2k+1$，右边$=k - 1 \cdot (1+k)=k-1-k=-1$，$2k+1 \ge -1$（因$k \ge -1$），成立。
当$k < -1$：左边$=k - (-k-1)=2k+1$，右边$=k - (-1)(1+k)=k+1+k=2k+1$，等号成立。

左侧$u=0$，右侧$u=1$：

代入$s=1$，验证$1 \cdot (|1-k| - |k|) \ge [q(u)]$：

所有情况都满足间断熵条件，因此整个积分不等式成立。

对于标量守恒律，熵解的间断需要满足特征线压缩条件（Lax条件的推广）：间断处左侧的特征速度≥间断速度≥右侧的特征速度。

通量$f(u)=|u|$的特征速度为$f'(u)=\text{sgn}(u)$：

对于两条间断线：

$x=-t$：间断速度$s=-1$，左侧特征速度为$-1$（与$s$相等），右侧特征速度≥$-1$，满足$s \le$右侧特征速度、左侧特征速度$=s$，特征线不会从间断处发散，符合熵条件。
$x=t$：间断速度$s=1$，右侧特征速度为$1$（与$s$相等），左侧特征速度≤$1$，同样满足特征线不发散的要求。

中间的$u=0$区域是初始条件形成的稀疏波区域，常数解自动满足熵条件。

综上，无论从严格的熵积分不等式验证，还是直观的特征线压缩判别，这个分段解都是熵容许的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Paolo