求解满足特定函数方程与单调性条件的函数不等式$f(x)\ge\frac12$的解集

这是我碰到的一道模拟测试题，题目没有给出参考答案，我自己尝试推导了一下，先把题目明确写出来：

设函数$f:\Bbb R\to\Bbb R$满足以下两个条件：

1. 对任意实数$x,y$，都有$f(x+y)=f(x)f(1-y)+f(1-x)f(y)$；
2. $f(x)$在区间$[0,1]$上严格递增。

求不等式$f(x)\ge\frac12$的解集。

我先约定用$P(x,y)$来指代这个函数方程的断言，也就是$P(x,y)$表示$f(x+y)=f(x)f(1-y)+f(1-x)f(y)$，这样写起来方便些。

我的推导过程 #

1. 先找函数的对称性 #

我先代入$P(1-x,1-y)$，展开计算：
$$f((1-x)+(1-y))=f(1-x)f(1-(1-y))+f(1-(1-x))f(1-y)$$
化简右边就是$f(1-x)f(y)+f(x)f(1-y)$，这刚好和原方程$P(x,y)$的右边一模一样，而左边是$f(2-x-y)$，所以就有：
$$f(2-x-y)=f(x+y)$$
令$t=x+y$，替换后就能得到$f(t)=f(2-t)$，这说明函数$f(x)$关于直线$x=1$对称。

2. 代入特殊值求关键点的函数值 #

接下来我代入几个特殊值，先看$P(0,0)$：
$$f(0)=f(0)f(1)+f(1)f(0)=2f(0)f(1)$$
整理一下得到$f(0)(1-2f(1))=0$，所以要么$f(0)=0$，要么$f(1)=\frac12$。

再代入$P(1,0)$：
$$f(1)=f(1)f(1)+f(0)f(0)=[f(1)]^2+[f(0)]2$$

结合题目里的严格递增条件——$f(x)$在$[0,1]$上严格递增，所以$f(0)<f(1)$，我们来分情况讨论：

• 情况一：$f(0)=0$
  把$f(0)=0$代入$P(1,0)$的式子，得到$f(1)=[f(1)]^2$，解得$f(1)=0$或$f(1)=1$。但因为$f(0)<f(1)$，所以$f(1)=1$是唯一符合的解。
• 情况二：$f(1)=\frac12$
  代入$P(1,0)$的式子，得到$\frac12=(\frac12)^2+[f(0)]2$，计算后得$[f(0)]^2=\frac14$，所以$f(0)=\pm\frac12$。但$f(0)<f(1)=\frac12$，所以$f(0)=-\frac12$。不过这个情况后面会发现矛盾，先记下来。

3. 结合单调性排除无效情况，确定函数形式 #

先看情况一：$f(0)=0$，$f(1)=1$。
我代入$y=1$到原方程$P(x,1)$，得到：
$$f(x+1)=f(x)f(0)+f(1-x)f(1)=0+f(1-x)\times1=f(1-x)$$
结合之前得到的对称性$f(t)=f(2-t)$，可以推出$f(1-x)=f(2-(1-x))=f(1+x)$，和上面的结果一致，没问题。

接下来我尝试找符合条件的具体函数，发现$f(x)=\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)$完全满足所有条件：

• 验证函数方程：右边$f(x)f(1-y)+f(1-x)f(y)=\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi(1-y)}{2}\right)+\sin\left(\frac{\pi(1-x)}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi y}{2}\right)$，化简后就是$\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi y}{2}\right)+\cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi y}{2}\right)=\sin\left(\frac{\pi(x+y)}{2}\right)$，和左边$f(x+y)$相等；
• 在$[0,1]$上，$\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)$从0严格递增到1，符合单调性要求；
• 满足对称性$f(t)=f(2-t)$，因为$\sin\left(\frac{\pi(2-t)}{2}\right)=\sin\left(\pi-\frac{\pi t}{2}\right)=\sin\left(\frac{\pi t}{2}\right)$。

再看情况二：$f(0)=-\frac12$，$f(1)=\frac12$。
代入$y=0$到原方程，得到$f(x)=f(x)f(1)+f(1-x)f(0)$，也就是$f(x)=\frac12f(x)-\frac12f(1-x)$，整理后得$f(1-x)=-f(x)$。再结合对称性$f(t)=f(2-t)$，可得$f(2-t)=-f(1-t)$，令$t=1+s$，则$f(1-s)=-f(s)$，也就是$f(1+s)=-f(s)$。

现在代入$P(0.5,0.5)$，左边$f(1)=\frac12$，右边$f(0.5)f(0.5)+f(0.5)f(0.5)=2[f(0.5)]^2$。因为$f(x)$在$[0,1]$严格递增，从$-\frac12$到$\frac12$，所以$f(0.5)=0$，代入右边得$2\times0=0$，和左边的$\frac12$矛盾，所以这个情况不成立，直接排除。

4. 求解不等式$f(x)\ge\frac12$ #

现在确定了唯一符合条件的函数是$f(x)=\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)$，它的周期是4（因为$\sin\left(\frac{\pi(x+4)}{2}\right)=\sin\left(\frac{\pi x}{2}+2\pi\right)=\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)$）。

我们需要解$\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)\ge\frac12$，先解核心三角不等式$\sin\theta\ge\frac12$（令$\theta=\frac{\pi x}{2}$），解得：
$$2k\pi+\frac{\pi}{6}\le\theta\le2k\pi+\frac{5\pi}{6},\quad k\in\Bbb Z$$

把$\theta=\frac{\pi x}{2}$代回去，两边除以$\pi$再乘以2，得到：
$$4k+\frac13\le x\le4k+\frac53,\quad k\in\Bbb Z$$

所以不等式$f(x)\ge\frac12$的解集就是所有形如$\left[4k+\frac{1}{3},4k+\frac{5}{3}\right]$的区间，其中$k$是整数。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者youthdoo