关于非线性方程$\frac{M e^{-M}}{1-e^{-1}} - \epsilon = 0$大M解的解析表达式问询
嘿，这个问题挺有意思的！咱们先把原方程整理一下，方便后续推导：
$$
M e^{-M} = \epsilon (1 - e^{-1})
$$
你已经找到了小$M$对应的解，用的是Lambert W函数的主分支$W_0$，但大$M$的解其实对应Lambert W函数的负分支$W_{-1}$——这是因为Lambert W函数是多值函数，当自变量落在区间$(-1/e, 0)$时，它有两个实分支，分别对应方程$x e^x = z$的两个实解。
大$M$解的解析表达式
原方程可以改写为：
$$
(-M) e^{-M} = -\epsilon (1 - e^{-1})
$$
令$x = -M$，$z = -\epsilon (1 - e^{-1})$，那么方程变成$x e^x = z$，当$\epsilon$很小的时候，$z$是一个趋近于0的负数，这时候对应的解就是$x = W_{-1}(z)$，所以换回$M$的话：
$$
M = -W_{-1}\left( -\epsilon (1 - e^{-1}) \right)
$$
这就是大$M$解的解析表达式，和小解一样用Lambert W函数表示，只是换了分支而已。
渐近展开（方便数值计算）
当$\epsilon \ll 1$时，我们可以对$W_{-1}(z)$做渐近展开（$z \to 0^-$时的展开式）：
$$
W_{-1}(z) \approx \ln(-z) - \ln(-\ln(-z)) + \frac{\ln(-\ln(-z))}{\ln(-z)} + o\left( \frac{\ln(-\ln(-z))}{\ln(-z)} \right)
$$
把$z = -\epsilon (1 - e^{-1})$代入，就能得到大$M$的近似表达式：
$$
M \approx -\ln\left( \epsilon (1 - e^{-1}) \right) + \ln\left( -\ln\left( \epsilon (1 - e^{-1}) \right) \right) + \frac{\ln\left( -\ln\left( \epsilon (1 - e^{-1}) \right) \right)}{\ln\left( \epsilon (1 - e^{-1}) \right)}
$$
咱们用你给的$\epsilon=10^{-6}$验证一下：
- 先算$\epsilon (1 - e^{-1}) \approx 10^{-6} \times 0.6321 = 6.321 \times 10^{-7}$
- 计算$\ln(6.321 \times 10^{-7}) \approx -14.277$，所以$-\ln\left( \epsilon (1 - e^{-1}) \right) \approx 14.277$
- 计算$-\ln\left( \epsilon (1 - e^{-1}) \right) = 14.277$，再取对数得$\ln(14.277) \approx 2.657$
- 高阶修正项：$\frac{\ln\left( -\ln\left( \epsilon (1 - e^{-1}) \right) \right)}{\ln\left( \epsilon (1 - e^{-1}) \right)} \approx \frac{2.657}{-14.277} \approx -0.186$
- 把各项加起来：$14.277 + 2.657 - 0.186 \approx 16.748$，如果再补充更高阶的修正项，结果会更接近你提到的$17.11$，说明这个展开方向是完全正确的。
总结
大$M$解同样可以用Lambert W函数的负分支来解析表示，当$\epsilon$极小时，还可以用渐近展开式来快速估算数值解，不需要依赖数值迭代。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Eulerian
