关于满足f(x)=f(x−a)+f(x−b)−f(x−a−b)的映射是否为ℚ-线性变换的疑问

这是一道测试题：
设$f: V → W$是有限维$\Bbb Q$-向量空间之间的映射，$f$是线性变换当且仅当对所有$x, a, b ∈ V$，都有$f(x) = f(x − a) + f(x − b) − f(x − a − b)$。{判断对错？}

我的思路 #

如果$f$是线性变换，那么显然等式成立，但反过来，假设等式成立，令$x=a+b$代入等式可得：
$f(a+b)=f(a)+f(b)-f(0)$。而我认为$f(0)=0$，所以$f$是线性变换，我觉得答案是True。但答案给的是False，我哪里错了？

问题出在哪里？ #

你忽略了一个核心错误：满足该等式的映射不一定满足$f(0)=0$，而你直接默认了这个结论，导致推导出现偏差。

我们可以用一个简单的反例来说明：考虑非零常值映射$f(x)=c$（$c∈W$且$c≠0$）。把它代入原等式，左边是$f(x)=c$，右边是$f(x-a)+f(x-b)-f(x-a-b)=c+c-c=c$，显然等式成立，但这个常值映射根本不是线性变换——线性变换要求$f(a+b)=f(a)+f(b)$，但这里$f(a+b)=c≠c+c=2c=f(a)+f(b)$。

再看你的推导步骤：代入$x=a+b$得到$f(a+b)=f(a)+f(b)-f(0)$，对于这个非零常值映射，等式确实成立（左边$c$，右边$c+c-c=c$），但因为$f(0)=c≠0$，所以$f(a+b)≠f(a)+f(b)$，不满足线性变换的加法性要求。

如果我们修正一下，令$g(x)=f(x)-f(0)$，可以验证$g$满足原等式且$g(0)=0$，此时代入$x=a+b$能得到$g(a+b)=g(a)+g(b)$，即$g$是加法群同态。在$\Bbb Q$-向量空间上，加法群同态确实满足齐次性（也就是$g(kx)=kg(x)$对所有$k∈\Bbb Q$成立），所以$g$是线性变换，但原映射$f=g(x)+f(0)$，只有当$f(0)=0$时，$f$才等于$g$，成为线性变换；若$f(0)≠0$，则$f$完全不符合线性变换的要求。

这就说明，存在满足原等式但不是线性变换的映射（比如非零常值映射），因此原命题的“当且仅当”不成立，答案是False。你的问题就在于没经过验证就直接认定$f(0)=0$，而这个条件并不是原等式能直接推导出来的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Soumya