关于度量张量与矢量场张量积的双重迹的疑问

嘿，完全理解你刚学微分几何时碰到这种张量迹运算的困惑——毕竟张量的指标操作一开始总是绕得人头晕！咱们结合你已经懂的知识，一步步拆解这个等式，很快就能搞明白啦。

首先回顾你已经掌握的核心例子：对于1-形式$\omega$（(0,1)型张量）和矢量$v$（(1,0)型张量），它们的张量积是(1,1)型张量，迹运算就是缩并唯一的一对逆变/协变指标，结果就是$\omega(v)=\omega_i v^i$。这个逻辑是咱们理解双重迹的关键。

接下来拆解目标等式里的各个张量：

• 度量张量$g$是(0,2)型张量，分量形式为$g=g_{ij} dx^{i}\otimes dx^{j}$
• 矢量场$X$、$Y$是(1,0)型张量，分量形式为$X=X^{{k}\partial_{k}$，$Y=Y}{l}\partial_{l}$

它们的张量积$g \otimes X \otimes Y$是**(2,2)型张量**（逆变阶数为$1+1=2$，协变阶数为$2+0+0=2$），对应的分量表达式为$g_{ij}X^kYl$，张量形式为$g_{ij} dx^i \otimes dx^j \otimes \partial_k \otimes \partial_l$。

现在看第一次迹运算：
我们需要缩并一对逆变和协变指标，这里选择把$g$的第一个协变指标$i$和$X$的逆变指标$k$进行缩并（也就是对$i=k$求和），这样就得到一个(1,1)型张量：
$$
tr[g \otimes X \otimes Y] = \sum_i g_{ij} X^i Y^l dx^j \otimes \partial_l
$$
这个(1,1)型张量其实就是**1-形式$g(X, \cdot)$**和矢量$Y$的张量积——因为$g(X, \partial_j)=g_{ij}X^i$，这个1-形式可以写成$\omega_j dx^{j$（其中$\omega_j=g_{ij}X}i$），所以上面的结果等价于$\omega \otimes Y$。

然后是第二次迹运算：
这就和你熟悉的例子完全一致了！对$\omega \otimes Y$做迹运算，就是缩并它的协变指标$j$和逆变指标$l$（对$j=l$求和）：
$$
tr[\omega \otimes Y] = \sum_j \omega_j Y^j = \sum_{i,j} g_{ij}X^i Y^j = g(X,Y)
$$

换个角度理解的话，这个双重迹本质上就是两次“配对收缩”：先把度量$g$和矢量$X$配对，得到一个能作用在其他矢量上的1-形式，再把这个1-形式和$Y$配对，结果自然就是度量张量对$X$、$Y$的作用值，和单迹运算的逻辑是一脉相承的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Geotrael