关于是否存在满足Luzin N性质但不满足Banach S性质的连续函数的技术问询

嘿，这个问题问到点子上了！答案是肯定存在这样的连续函数。我来给你梳理清楚整个逻辑：

先明确两个关键定义 #

首先，我们再把两个性质的定义明确一下，避免混淆：

• Luzin N性质：对于定义在紧区间 $[a,b]\subseteq \mathbb{R}$ 上的连续函数 $g:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$，若对任意可测集 $E\subseteq [a,b]$，只要勒贝格测度 $\lambda(E)=0$，就有 $\lambda(g(E))=0$，那么 $g$ 满足Luzin N性质。简单说就是“零测集映为零测集”。
• Banach S性质：同样对于 $g:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$，若对任意可测集 $E\subseteq [a,b]$，$g(E)$ 也是 $\mathbb{R}$ 上的可测集，那么 $g$ 满足Banach S性质。也就是“可测集映为可测集”。

核心结论与构造思路 #

连续函数满足Luzin N性质的情况很常见（比如Lipschitz函数、绝对连续函数都满足），但满足Luzin N不代表一定满足Banach S。我们可以通过构造来验证这一点：

1. 基础集合准备：取 $[0,1]$ 中的康托集 $C$（测度为0的闭集，且 $[0,1]\setminus C$ 是稠密的开集，测度为1），把 $[0,1]\setminus C$ 拆分成可数个互不相交的开区间 ${I_n}_{n=1}^\infty$。
2. 不可测集引入：取 $\mathbb{R}$ 中的一个不可测集 $S$（比如经典的Vitali集）。
3. 函数构造：对每个开区间 $I_n$，定义 $g$ 在 $I_n$ 上是连续函数，把 $I_n$ 映射到一个小区间，使得所有这些区间的像的并恰好覆盖不可测集 $S$；同时在康托集 $C$ 上定义 $g$ 为连续函数，且 $g(C)$ 是一个零测集（比如单点集或者另一个零测集）。
4. 性质验证：
   • Luzin N性质：任何零测集 $E\subseteq [0,1]$，要么包含在 $C$ 中（此时 $g(E)\subseteq g(C)$，测度为0），要么与 $\bigcup I_n$ 相交，但交集是可数个零测集的并，它们的像也是可数个零测集的并，总测度还是0。因此 $g$ 满足Luzin N。
   • 不满足Banach S性质：可测集 $\bigcup I_n$（测度为1）的像包含不可测集 $S$，而包含不可测子集的集合一定不可测，因此 $g(\bigcup I_n)$ 不可测，说明 $g$ 不满足Banach S性质。

这样就构造出了符合要求的连续函数。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Andrija