关于直谓系统、皮亚诺算术等理论的直谓性及非直谓定义的技术问询

嗨，这个问题问到点子上了，咱们结合你给出的非直谓定义来慢慢梳理：

首先先明确你提到的定义标准：

一个定义如果涉及到包含被定义对象的全体，那么它就是非直谓的。

那回到你的核心问题：像皮亚诺算术（PA）这类被归类为直谓的理论，是不是完全没法写出非直谓定义？答案是不能一概而论——要区分“写出形式上类似非直谓的语句”和“理论允许通过这类定义合法引入新对象/概念”这两个层面：

1. 形式语句层面：可以写出类似结构，但不构成真正的非直谓定义
   你确实能在PA的语言里构造出看起来像非直谓的句子，比如“x是满足某类性质的自然数里的最小元”。但关键在于，PA是一阶理论，它的量词只能遍历自然数本身，没法直接指代“所有自然数的性质/子集”这个全体——而你给出的非直谓定义核心是“引用包含被定义对象的全体”，在PA里根本没法在语言层面直接表达这个“全体”，所以这类语句其实并没有真正达到非直谓定义的要求。

2. 理论规则层面：PA不允许真正的非直谓定义生效
   PA的直谓性本质体现在它的归纳公理是直谓归纳：归纳公式只能使用已经被定义好的、不涉及更高层级全体的一阶概念。对比二阶算术里的完全归纳公理——它允许引用“所有自然数子集”这个全体，这就属于典型的非直谓，但PA完全没有这个能力。换句话说，就算你想尝试用非直谓的方式定义一个对象，PA的公理和推理规则也没法保证这个对象存在，更不会承认它是合法的可引入项。

总结一下：称PA这类理论是“直谓的”，不是说你连非直谓的句子都写不出来，而是说这类理论的框架从根本上限制了非直谓定义的可能性——它不允许你用包含待定义对象的全体来完成合法的定义，整个理论的可定义性是分层的，只能从低到高构建，不能反向依赖更高层级的全体。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1339791