向量空间上凸函数对应φ(t)单调性的证明咨询

各位好，我最近在读Fabian等人所著的Functional analysis and infinite-dimensional geometry这本书，在定义8.2之后看到了这么一个结论：

对于向量空间$V$的凸子集$U$上的凸函数$f:U \rightarrow \mathbb{R}$，函数
$$\phi(t)=\dfrac{f(x+ty)-f(x)}{t}$$
对所有满足$x+ty \in U$的$x \in U$和$y \in V$，关于$t$是单调递增的。

书中提到这其实是凸性的等价定义，但我目前只关心凸函数能推出φ(t)单调递增这一方向的推导。

现在我已经能大概看出当$0<s<t$时，$\phi(s) \leq \phi(t)$这个关系成立，但还需要一个严谨的证明过程来确认，想请教大家具体的推导步骤应该是怎样的？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Eparoh