无穷级数的联合正态性
问题描述：
考虑一列相互独立且均服从标准正态分布的随机变量，记该序列为S。S的张成空间的闭包构成一个希尔伯特空间。请问：该希尔伯特空间中的任意有限个变量是否构成正态向量？编辑（澄清）：这个大希尔伯特空间是标准的：它是所有平方可积随机变量构成的空间，内积定义为
<X,Y>=E[XY]。更准确地说，它是等价类构成的空间，等价的变量在概率为0的集合上取值不同。基础概率空间足够丰富，足以支撑一列独立同分布的正态随机变量。Cl(span(S))是该希尔伯特空间的子空间。
这个问题的答案是肯定的，咱们一步步拆解原因：
首先回忆联合正态随机向量的核心定义：一组随机变量是联合正态的，当且仅当它们的任意线性组合都是正态随机变量（包括退化的正态变量，也就是常数）。我们就从这个定义出发来验证：
先看span(S)里的元素：
span(S)中的元素都是S中有限个标准正态变量的线性组合，而独立正态变量的线性组合本身就是正态变量，这是概率论里的基本结论。那span(S)里任意有限个元素的线性组合，本质上还是S中有限个变量的线性组合，自然也是正态的。所以span(S)里的任意有限个元素都满足联合正态的条件。再看闭包Cl(span(S))里的元素：
假设我们取闭包里的任意n个元素$X_1,X_2,...,X_n$，根据闭包的定义，每个$X_i$都能找到span(S)中的一列随机变量${X_{i,k}}{k=1}\infty$，使得${X_{i,k}}$依$L2$收敛到$X_i$（也就是$\lim{k\to\infty}E[(X_{i,k}-X_i)^2]=0$）。
现在任取一组实数$a_1,a_2,...,a_n$，考虑线性组合$Y = a_1X_1 + a_2X_2 + ... + a_nX_n$，对应的span(S)中的线性组合序列是$Y_k = a_1X_{1,k} + ... + a_nX_{n,k}$。
首先，$Y_k$是正态变量（因为它属于span(S)）；其次，$Y_k$依$L2$收敛到$Y$，而$L2$收敛可以推出依分布收敛——这里用特征函数理解更直观：$Y_k$的特征函数$\phi_{Y_k}(t) = E[e^{itY_k}]$会收敛到$Y$的特征函数$\phi_Y(t)$，而正态变量的特征函数是连续的，根据特征函数的连续性定理，$Y$的分布就是正态分布（包括退化情况）。回到联合正态的定义：
既然Cl(span(S))中任意有限个元素的任意线性组合都是正态变量，那这组元素就构成了联合正态向量。
另外补充一点：虽然我们的希尔伯特空间是由等价类构成的（差零测集的变量视为同一个元素），但依分布收敛只和随机变量的分布有关，和零测集上的取值无关，所以完全不影响结论的成立。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Denis Gorenko
